2015　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　$xy$平面において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}|x-y|\leqq 2\\ (x-2)(x+3y-2)\leqq 0\end{array}$

が表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$r=\sqrt{x^2+{(y+1}^2)}$の最小値を求めよ．

【２】　$xy$平面において，$2$つの異なる放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=x^2+ax+b$を考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$C_1$上の点$(p,p^2)$における接線の方程式は，$y=\boxed{\text{①}}$である．$2$次方程式

$x^2+ax+b-(\boxed{\text{①}})=0$

が重解をもつための必要十分条件を$a\text{，}b\text{，}p$を用いて表すと，$\boxed{\text{②}}$である．よって，$a\ne 0$ならば，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線がただ一つ定まる．このとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$l$とする．$C_1$と$l$の接点の$x$座標が$1$で，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標が$2$であるならば，$a=\boxed{\text{③}}\text{，}b=\boxed{\text{④}}$となる．また，$C_1$と$C_2$と$l$とで囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【３】　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$と書かれたカードが$1$枚ずつある．これらを左から並べ，左端から数えて$1$番目から$3$番目の数字で作られる$3$桁の整数を$X\text{，}4$番目から$6$番目の数字で作られる$3$桁の整数を$Y$とする．例えば，並べられた数字が順に$3\text{，}5\text{，}1\text{，}6\text{，}4\text{，}2$であれば，$X=351\text{，}Y=642$である．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$X$と$Y$の組合せの総数は$\boxed{\text{①}}$通りある．

(2)　$X$が$600$以上となる$X$と$Y$の組合せの総数は$\boxed{\text{②}}$通りある．

(3)　$X$と$Y$の値の大きい方が$500$以下となる$X$と$Y$の組合せの総数は$\boxed{\text{③}}$通りある．

(4)　$X$と$Y$がともに奇数となる$X$と$Y$の組合せの総数は$\boxed{\text{④}}$通りある．

(5)　$X$が$3$で割り切れる$X$と$Y$の組合せの総数は$\boxed{\text{⑤}}$通りある．