Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2015年度一覧へ
大学別一覧へ
関西大学一覧へ
2015-14991-1001
2015 関西大学 全学部日程・センター中期
社会安全・システム理工・環境都市工
・化学生命工学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 関数
f⁡( x)= ∫ -π4 x (1- 2⁢sin⁡ t)⁢ sin⁡t⁢ dt
について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の導関数を求めよ.
(2) - π4≦ x≦ π4 の範囲で, f⁡( x) の増減を調べ,極値を求めよ.
(3) - π4< a< π4 で,点 A ( a,f⁡ (a )) が曲線 y =f⁡ (x ) の変曲点であるとする.曲線 y =f⁡ (x ) の点 A における接線の傾きを求めよ.
2015-14991-1002
【2】 次の をうめよ.
O を座標空間の原点, r を正の定数とする.原点とは異なる座標空間内の点 P に対して,点 Q を
OP→ ⫽OQ → , OP →⋅ OQ→ >0 , | OP→ |⁢ |OQ →| =r2
を満たすように定める. P の座標を ( x,y, z) とすると, Q の z 座標は r , x , y , z を用いて ① と表される.
a は 0 <a<r を満たす定数とする. P の座標が ( 0,0, a) のとき, Q の座標は ② である.このとき, xy 平面に平行で P を通る平面上の点 R を,原点からの距離が r , x 座標が 0 , y 座標が正となる点とすると, R の座標は ③ で, OR→ ⋅QR →= ④ となる.
b を正の定数とし, P を x y 平面に平行で点 ( 0,0, b) を通る平面上の点とする.このとき, Q の座標を ( X,Y, Z) とすると,等式
X2+ Y2+ Z2= ⑤ ⁢ Z
が成り立つ.よって Q は,中心が ⑥ , 半径が ⑦ の球面上の点となる.
2015-14991-1003
【3】 x>0 に対して, f⁡( x)= log ⁡xx とおく.次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の増減を調べ,極値を求めよ.
(2) 曲線 y =f⁡( x) の概形を解答欄の座標平面上にかけ.ただし,曲線の凹凸については調べなくてもよい.必要ならば, limx →∞ f⁡( x)= 0 であることを用いてよい.
(3) eπ と π e の大小を判定せよ.
2015-14991-1004
【4】 次の をうめよ.
(1) 2x +2- x-1 =3 のとき, 4x +4- x-1 = ① である.
2015-14991-1005
(2) 数列 { an } が条件
a1 =1 ,a n+1 =n+ (- 1) an ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ )
によって定められている. bn =a2 ⁢n-1 とおくと, bn は n の式を用いて, bn= ② と表される.
2015-14991-1006
(3) 0≦θ <2⁢ π とすると,関数
4⁢sin⁡ θ+ 1sin⁡ θ+ 32
は θ = ③ のとき,最小値 ④ をとる.
2015-14991-1007
(4) 極方程式で表された 2 つの直線
r⁢( cos⁡θ +3⁢ sin⁡θ )=4 , r⁡ (cos⁡ θ-sin⁡ θ)= 2
のなす角は,弧度法で表すと ⑤ である.
2015-14991-1008
(5) x⁢ (1+ x) n の展開式を利用すると,等式
∑k=0 n (k +1) ⁢Ck n =1 ⋅C0 n +2 ⋅C1 n +3 ⋅C2 n +⋯ +(n +1) ⁢Cn n = 217
を満たす自然数 n の値は ⑥ であることがわかる.