2015　関西大　全学部日程文系学部2月8日実施MathJax

　$3$つの実数$x\text{，}y\text{，}z$に対して，次の$2$つの等式

${(x+y+z)}^3=x^3+y^3+z^3+\alpha (x+y)(y+z)(z+x)\text{，}$

$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)+\beta xyz$

が定数$\alpha \text{，}\beta$に対して成り立つ．このとき，$\alpha =\boxed{\text{①}}\text{，}\beta =\boxed{\text{②}}$である．

　また，$x\text{，}y\text{，}z$は

$x^3+y^3+z^3=0\text{，}xy+yz+zx=-{\displaystyle \frac{55}{6}}\text{，}xyz={\displaystyle \frac{19}{2}}$

を満たすとする．$x+y+z=k$とおくと，実数$k$は整数を係数とする$3$方程式$2k^3+\boxed{\text{③}}+57=0$を満たし，その値は$k=\boxed{\text{④}}$である．$x=-3$のとき，

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑤}}\pm \boxed{\text{⑥}}}{6}}\text{，}z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑤}}\mp \boxed{\text{⑥}}}{6}}$（複号同順）

である．

　$xy$平面に点$\mathrm{Q}(a,b)$を$▵\mathrm{OPQ}$が正三角形となるようにとる．このような点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上に$2$点存在する．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$について$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$より，$a^2+b^2=\boxed{\text{①}}$である．内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{②}}\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$だから，$b=\boxed{\text{③}}a+\boxed{\text{④}}$と表される．このとき，$a=\boxed{\text{⑤}}\text{，}b=\boxed{\text{⑥}}$（複号同順）である．また，条件を満たす$2$点のうち一方の点が第$2$象限にあるための$p$の範囲は$\boxed{\text{⑦}}$である．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた軌跡上の点$\mathrm{P}$における接線$l$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{C}$とする．原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の面積が$10\sqrt{3}$となる点$\mathrm{C}$をすべて求めよ．