2015　関西大　後期　文系学部3月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　点$(x,y)$が$2$点$(0,2)\text{，}(1,0)$を通る直線$l$上を動くとき，$9^{-x}+3^{-y}$の値を最小にする$x\text{，}y$の値と，そのときの最小値を求める．

　$l$の方程式を求めると，$y=\boxed{\text{①}}$である．$9^{-x}=3^{\boxed{\text{②}}}$だから，$9^{-x}+3^{-y}$を$x$を用いて表すと，

$9^{-x}+3^{-y}=3^{\boxed{\text{②}}}+3^{\boxed{\text{③}}}$

となる．相加平均と相乗平均の関係より，$9^{-x}+3^{-y}$の最小値は$\boxed{\text{④}}$となることがわかる．このとき，最小値を与える$x\text{，}y$の値は，$(x,y)=\boxed{\text{⑤}}$である．

【２】　$xy$平面において$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=-2{(x-a)}^2+3$を考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$C_1$と$C_2$は異なる$2$つの点で交わるものとする．このとき，$2$つの交点の$x$座標を$a$を用いて表すと，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}\pm \sqrt{\boxed{\text{②}}}}{3}}$

となる．これらがともに$0$以上となるような$a$の値の範囲を求めると，$\boxed{\text{③}}$となる．

　ここからは，$a=2$の場合を考える．$C_1$と$C_2$の$2$つの交点のうち$x$座標の値が大きいほうを$\mathrm{A}$とする．$C_1$の$\mathrm{A}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．同様に，$C_2$の$\mathrm{A}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$▵\mathrm{APQ}$の面積を求めると，$\boxed{\text{④}}$となる．$C_2$の$\mathrm{A}$における接線と，$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積を求めると，$\boxed{\text{⑤}}$となる．

【３】　図のような道路網をもつ町がある．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点までの最短距離の道順は$\boxed{\text{①}}$通りある．

(2)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{C}$地点までの最短距離の道順は$\boxed{\text{②}}$通りあり，そのうちで$\mathrm{B}$地点を通る最短距離の道順は$\boxed{\text{③}}$通りあり，$\mathrm{B}$地点を通らない最短距離の道順は$\boxed{\text{④}}$通りある．

(3)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{D}$地点までの最短距離の道順は$\boxed{\text{⑤}}$通りある．