2015 関西大 後期 理系学部3月4日実施

Mathematics

Examination

Test

Archives

2015 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   を数値でうめよ.

 次の等式(A)が x についての恒等式となるように定数 a b c を定める.

1=a (x +2) ( x+3) +b (x+ 1) (x+ 3)+ c( x+1) (x +2) (A)

このとき, a= b= c= となる.

 (A)の両辺を ( x+1) (x +2) (x +3 ) で割ると

1 (x +1) (x +2) (x +3) = a x+1 + bx+2 + cx+3 (B)

である.

 (B)式を利用して計算すると,

01 1 (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3) dx= log2- log3

となる.同様にして次の定積分も計算することができる.

01 1( x+1) ( x+2) (x +3) (x +4) dx = log2- log3- log5

2015 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の 3 点, O (0 ,0) A ( 1,0 ) B (0 ,1) を頂点とする三角形 OAB を考える.次の   をうめよ.

 線分 AB の中点 M と原点 O を結ぶ線分上に点 P をとり, OP+AP+ BP が最小になる点 P の座標を求める. APM= θ ( π4 θ < π2 ) とする. AM の長さは だから, θ を用いて AP を表すと, AP= である. OP の長さは sin θ cos θ を用いて, OP= 22 - と表されるから,

OP+AP+ BP= 22 +

となる.このとき P= M の場合も考えると, OP+AP +BP が最小になるのは, が最小になるときである.実際, sinθ = のとき, は最小値 をとることがわかる.このとき,求める P の座標は である.

2015 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【3】 平面上に円 C x2 +y2 +4 3x -4y +12=0 とその円の中心を通る直線 l y=m x+2 3 m+2 がある.ここで m は実数で, m>0 とする.次の   をうめよ.

 原点から l に下ろした垂線と l との交点の x 座標は, m2 +1 である.また,原点を通る円 C の接線の方程式は, y= x y =0 である.このとき,直線 l と直線 y = x が直交するのは, m= のときである. x y が次の 2 つの不等式

ym x+2 3 m+2 x2 +y2 +4 3x -4y +120

をともに満たしながら変化するとき, x2 +y2 の最小値は, 0<m < のとき, 20+ m2 +1 であり, m のとき, m2 +1 である.また,その最大値はいずれの場合も である.

2015 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(1)  m n は異なる正の整数とする. x 2 次方程式

5n x2 +(m n-20 )x +4m =0

1 より大きい解と 1 より小さい解をもつような, m n の組 ( m,n ) をすべて求めると, である.

2015 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(2)  0<x < π4 の範囲で方程式 cos 3x =sin2 x を満たす x の値は である.また,この x に対して, sinx の値は である.

2015 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(3)  xy 平面上の点 P は,空間内の 2 A ( 0,2, 5) B ( 1,-2 ,3) から等距離にあり,また点 A と点 C ( 2,0, 4) からも等距離にある. P の座標は である.

2015 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(4)  a を定数とする.極限値 limx 4 3π sin x+a cosx 3x -4π が存在するとき, a= であり,その極限値は である.

2015 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(5)  A B C D E 5 人に,みかん,リンゴ,パイナップルの 3 つの果物の中から最も好きなものを 1 つだけ選んでもらうとき,起こりうるすべての場合の数は である.そのとき,みかん,リンゴ,パイナップルのいずれもが,少なくとも 1 人に選ばれる場合の数は である.