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2015-14991-1601
2015 関西大学 後期
システム理工・環境都市工・
化学生命工学部
3月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の を数値でうめよ.
次の等式(A)が x についての恒等式となるように定数 a , b ,c を定める.
1=a ⁢(x +2) ⁢( x+3) +b⁢ (x+ 1)⁢ (x+ 3)+ c⁢( x+1) ⁢(x +2) ⋯ (A)
このとき, a= ① , b= ② ,c= ③ となる.
(A)の両辺を ( x+1) ⁢(x +2) ⁢(x +3 ) で割ると
1 (x +1) ⁢(x +2) ⁢(x +3) = a x+1 + bx+2 + cx+3 ⋯ (B)
である.
(B)式を利用して計算すると,
∫ 01 1 (x+ 1)⁢ (x+ 2)⁢ (x+ 3) ⁢ dx= ④ ⁢ log⁡2- ⑤ ⁢ log⁡3
となる.同様にして次の定積分も計算することができる.
∫ 01 1( x+1) ⁢( x+2) ⁢(x +3) ⁢(x +4) ⁢ dx = ⑥ ⁡ log⁡2- log⁡3- ⑦ ⁢ log⁡5
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【2】 xy 平面上の 3 点, O (0 ,0) ,A ( 1,0 ), B (0 ,1) を頂点とする三角形 OAB を考える.次の をうめよ.
線分 AB の中点 M と原点 O を結ぶ線分上に点 P をとり, OP+AP+ BP が最小になる点 P の座標を求める. ∠APM= θ ( π4 ≦θ < π2 ) とする. AM の長さは ① だから, θ を用いて AP を表すと, AP= ② である. OP の長さは sin ⁡θ と cos ⁡θ を用いて, OP= 22 - ③ と表されるから,
OP+AP+ BP= 22 + ④
となる.このとき P= M の場合も考えると, OP+AP +BP が最小になるのは, ④ が最小になるときである.実際, sin⁡θ = ⑤ のとき, ④ は最小値 ⑥ をとることがわかる.このとき,求める P の座標は ⑦ である.
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【3】 平面上に円 C :x2 +y2 +4⁢ 3⁢x -4⁢y +12=0 とその円の中心を通る直線 l :y=m ⁢x+2 ⁢3⁢ m+2 がある.ここで m は実数で, m>0 とする.次の をうめよ.
原点から l に下ろした垂線と l との交点の x 座標は, ① m2 +1 である.また,原点を通る円 C の接線の方程式は, y= ② ⁢ x と y =0 である.このとき,直線 l と直線 y = ② ⁢ x が直交するのは, m= ③ のときである. x ,y が次の 2 つの不等式
y≧m ⁢x+2 ⁢3⁢ m+2 , x2 +y2 +4⁢ 3⁢x -4⁢y +12≦0
をともに満たしながら変化するとき, x2 +y2 の最小値は, 0<m < ③ のとき, 20+ ④ m2 +1 であり, m≧ ③ のとき, ⑤ m2 +1 である.また,その最大値はいずれの場合も ⑥ である.
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【4】 次の をうめよ.
(1) m ,n は異なる正の整数とする. x の 2 次方程式
5⁢n ⁢x2 +(m ⁢n-20 )⁢x +4⁢m =0
が 1 より大きい解と 1 より小さい解をもつような, m ,n の組 ( m,n ) をすべて求めると, ① である.
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(2) 0<x < π4 の範囲で方程式 cos ⁡3⁢x =sin⁡2 ⁢x を満たす x の値は ② である.また,この x に対して, sin⁡x の値は ③ である.
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(3) xy 平面上の点 P は,空間内の 2 点 A ( 0,2, 5) と B ( 1,-2 ,3) から等距離にあり,また点 A と点 C ( 2,0, 4) からも等距離にある. P の座標は ④ である.
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(4) a を定数とする.極限値 limx→ 4 3⁢π sin ⁡x+a ⁢cos⁡x 3⁢x -4⁢π が存在するとき, a= ⑤ であり,その極限値は ⑥ である.
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(5) A , B , C , D , E の 5 人に,みかん,リンゴ,パイナップルの 3 つの果物の中から最も好きなものを 1 つだけ選んでもらうとき,起こりうるすべての場合の数は ⑦ である.そのとき,みかん,リンゴ,パイナップルのいずれもが,少なくとも 1 人に選ばれる場合の数は ⑧ である.