2015　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を正の実数とする．$xy$平面上の放物線

$y=x^2+(a+1)x-2a+1$

を$C$とする．$C$の頂点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．$C$と$x$軸が$2$個の共有点をもつとき，$a$の取り得る値の範囲は$a>\boxed{\text{ウ}}$である．以後$a>\boxed{\text{ウ}}$とし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を，$C$と$x$軸の共有点とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$を用いて表すと$\boxed{\text{エ}}$である．また$▵\mathrm{APB}$が直角三角形であるとき，$a$の値は$a=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目の積を$X$とする．$X$が奇数である確率は$\boxed{\text{カ}}\text{，}$偶数である確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$X$が$3$の倍数である確率は$\boxed{\text{ク}}\text{，}4$の倍数である確率は$\boxed{\text{ケ}}\text{，}5$以下である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)$がある．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{C}$とすると，$\mathrm{C}$の$x$座標は$\boxed{\text{ア}}$である．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からの距離の比が$3:1$であるような点を$\mathrm{P}$とするとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は点$(\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})$を中心とする半径$\boxed{\text{エ}}$の円であり，点$\mathrm{D}(6,7)$と点$\mathrm{P}$との距離$\mathrm{DP}$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$p$を正の実数とする．次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=p{a}_{n+1}+(p+1)a_n$

$b_n=a_{n+1}+a_n$とおくと，$b_{n+1}$は$b_n$を用いて$b_{n+1}=(\boxed{\text{カ}})b_n$と表されるので，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{キ}}$である．また，$c_n=a_{n+1}-(\boxed{\text{カ}})a_n$とおくと，数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=\boxed{\text{ク}}$である．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{ケ}}$である．したがって，$a_{2n+1}-a_{2n-1}$を$p$の整式で表すと$a_{2n+1}-a_{2n-1}=\boxed{\text{コ}}$となる．

【３】　$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3+4x^2-2x+a+1\text{，}g(x)=x^2+7x+1$とおく．$xy$平面において曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$が$2$個の共有点をもつとする．共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha <\beta$であるとする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$における$y=f(x)$の接線を$l\text{，}$点$\mathrm{B}$における$y=g(x)$の接線を$m$とする．直線$l\text{，}$直線$m$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．