2015　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$の導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}$であり，第$2$次導関数は$f^{″}(x)=\boxed{\text{イ}}$である．曲線$y=f(x)$の変曲点における接線の傾きは$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{GC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\boxed{\text{オ}}$となる．また，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$とすると，$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$3$次方程式$x^3+8=0$の解は$-2\text{，}\boxed{\text{キ}}\pm \boxed{\text{ク}}i$である．複素数$\alpha$を$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{キ}}+\boxed{\text{ク}}i)$とおくと，${\alpha }^2-\alpha +\boxed{\text{ケ}}=0$であり，${\alpha }^{999}=\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　関数$f(x)$と定数$a$に対して

$I={\displaystyle {\int }_{-a}^a}f(x)dx$

とおく．さらに，$f(x)$は偶関数とする．すなわち，任意の$x$に対して$f(-x)=f(x)$が成り立つとする．このとき${\displaystyle {\int }_{-a}^a}xf(x)dx=\boxed{\text{ア}}$である．定積分${\displaystyle {\int }_0^{2a}}uf(u-a)du$の値は，$u=x+a$と置換して計算すると，$a$と$I$を用いて

${\displaystyle {\int }_0^{2a}}uf(u-a)du=\boxed{\text{イ}}\cdots$(＊)

と表せる．以下では$3$つの例に(＊)をあてはめる．

(1)　$f(x)=x^2\text{，}a=1$の場合，

(＊)より${\displaystyle {\int }_0^2}u{(x-1)}^{2}du=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$f(x)=\cos x\text{，}a={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の場合，

(＊)より${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}u\cos (u-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})du=\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$f(x)={\displaystyle \frac{4\cos x}{4-{\sin }^{2}x}}\text{，}a={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の場合，

$\sin x=t$と置換すると$I={\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(t)dt$となる．ここで$g(t)=\boxed{\text{オ}}$である．一般に定数$\alpha$に対して${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{t+\alpha }}dt=\boxed{\text{カ}}+C$（$C$は積分定数）だから${\displaystyle \int }g(t)dt=\boxed{\text{キ}}+C$である．したがって，$I$の値は$I=\boxed{\text{ク}}$であり，(＊)より${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}uf(u-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})du=\boxed{\text{ケ}}$である．ここで，$p$の分数関数$h(p)=\boxed{\text{コ}}$について$f(u-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=h(\sin u)$が成り立つ．

以上より${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}uh(\sin u)du=\boxed{\text{ケ}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　焼きいも屋さんが京都・大阪・神戸の$3$都市を次のような確率で移動して店を出す（$2$日以上続けて同じ都市で出すこともありうる）．

・京都で出した翌日は，大阪・神戸で出す確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}$である．

・大阪で出した翌日は，京都・大阪で出す確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}$である．

・神戸で出した翌日は，京都・神戸で出す確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

今日を$1$日目として，$n$日目に京都・大阪・神戸で店を出す確率を，それぞれ$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$とすると$p_n+q_n+r_n=\boxed{\text{ア}}$である．

$p_1=1$であるとする．このとき$p_2=\boxed{\text{イ}}\text{，}{p}_3=\boxed{\text{ウ}}$である．$n\geqq 2$のとき$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を$p_{n-1}\text{，}{q}_{n-1}\text{，}{r}_{n-1}$で表すとそれぞれ$p_n=\boxed{\text{エ}}\text{，}{q}_n=\boxed{\text{オ}}\text{，}{r}_n=\boxed{\text{カ}}$である．$p_n+q_n+r_n=\boxed{\text{ア}}$を用いると，$n\geqq 3$のとき$p_n$を$p_{n-2}$のみで表すことができる．すなわち$p_n=\boxed{\text{キ}}$である．したがって，$p_n$の一般項は，$n$が奇数のとき$p_n=\boxed{\text{ク}}\text{，}n$が偶数のとき$p_n=\boxed{\text{ケ}}$である．以上より$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　放物線$y=x^2+4x$上の$3$点$\mathrm{A}(-4,0)\text{，}\mathrm{B}(1,5)\text{，}\mathrm{P}(p,p^2+4p)\text{（}-4<p<1\text{）}$を考える．$▵\mathrm{ABP}$の外接円$C$の中心の座標を$(s,t)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線の方程式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線の方程式を求めよ．また，$s$を$p$の式で表せ．

(3)　$p$が$-4<p<1$の範囲を動くとき，$s$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　$p$が$-4<p<1$の範囲を動くとき，円$C$の半径の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．