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2015-15113-0301
2015 関西学院大学 文系学部全学日程
2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) a は - 2<a< 1 を満たす実数とする.関数
y=- x2- 2⁢a⁢ x-2⁢ a+1 ( -1≦x ≦2 ) ⋯ ①
について考える.関数 ① は x = ア のとき最大値 イ をとる.関数 ① の最大値が 5 となるとき, a の値は a = ウ である.また,関数 ① の最小値が負であるとき, a の取り得る値の範囲は エ <a< オ である.
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(2) 1 から 8 までの番号のついた玉がそれぞれ 1 個ずつ,合計 8 個入った袋の中から,玉を 2 個同時に取り出す.取り出した 2 個の玉の番号の組合せは カ 通りある.取り出した 2 個の玉のうち,番号が 2 の倍数である玉の個数を X とし,番号が 3 の倍数である玉の個数を Y とする. X=0 となる確率は キ ,X =1 となる確率は ク となる.また Y =0 となる確率は ケ となる.さらに, X=0 と Y =0 が同時に成り立つ確率は コ である.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) a を実数とする. xy 平面上の円 x2+ y2= 3 を C , 直線 y =a⁢x -2⁢a +3 を l とし, C が l と 2 個の共有点をもつとする.このとき, a の取り得る値の範囲は ア <a< イ である. C と l の 2 個の共有点の x 座標を α , β とするとき, α+β を a を用いて表すと ウ である.よって, α+β <0 であるとき, α の取り得る値の範囲は エ <a< オ である.
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(2) 数列 { an } において,その初項から第 n 項までの和 S n が
Sn= -an +2n ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ )
で表されている.このとき数列 { an } の一般項を求めよう. Sn+ 1- Sn= an+ 1 であることを用いると漸化式 an+ 1= 1 2⁢ a n+ カ ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) が得られる.よって, bn =an - キ ⁢ 2n とおくと,数列 { bn } は初項 b1= ク , 公比 ケ の等比数列となる.したがって,数列 { an } の一般項は an= コ である.ただし, キ , ク , ケ は数値である.
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【3】 xy 平面上の放物線 y =4- x2 を C とする. a を 0 <a< 2 を満たす実数とし, C 上の点 P ( a,4- a2 ) における C の接線を l とする.このとき次の問いに答えよ.
(1) 接線 l の方程式を求めよ.
(2) 放物線 C と l および y 軸によって囲まれる図形の面積を S1 ,C と l および直線 x =2 によって囲まれる図形の面積を S 2 とする. S1 , S2 を求めよ.
(3) (2)で求めた S1 ,S 2 について, 2⁢S 1+S 2 が最小となるときの a の値とそのときの 2 ⁢S1 +S2 の値を求めよ.