2015　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施MathJax

(1)　$a$は$-2<a<1$を満たす実数とする．関数

$y=-x^2-2ax-2a+1\text{（}-1\leqq x\leqq 2\text{）}\cdots \text{①}$

について考える．関数$\text{①}$は$x=\boxed{\text{ア}}$のとき最大値$\boxed{\text{イ}}$をとる．関数$\text{①}$の最大値が$5$となるとき，$a$の値は$a=\boxed{\text{ウ}}$である．また，関数$\text{①}$の最小値が負であるとき，$a$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{エ}}<a<\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$1$から$8$までの番号のついた玉がそれぞれ$1$個ずつ，合計$8$個入った袋の中から，玉を$2$個同時に取り出す．取り出した$2$個の玉の番号の組合せは$\boxed{\text{カ}}$通りある．取り出した$2$個の玉のうち，番号が$2$の倍数である玉の個数を$X$とし，番号が$3$の倍数である玉の個数を$Y$とする．$X=0$となる確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}X=1$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$となる．また$Y=0$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$となる．さらに，$X=0$と$Y=0$が同時に成り立つ確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$a$を実数とする．$xy$平面上の円$x^2+y^2=3$を$C\text{，}$直線$y=ax-2a+3$を$l$とし，$C$が$l$と$2$個の共有点をもつとする．このとき，$a$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}$である．$C$と$l$の$2$個の共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha +\beta$を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{ウ}}$である．よって，$\alpha +\beta <0$であるとき，$\alpha$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{エ}}<a<\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$において，その初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n=-a_n+2^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で表されている．このとき数列$\{a_n\}$の一般項を求めよう．$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$であることを用いると漸化式$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+\boxed{\text{カ}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が得られる．よって，$b_n=a_n-\boxed{\text{キ}}{2}^n$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$b_1=\boxed{\text{ク}}\text{，}$公比$\boxed{\text{ケ}}$の等比数列となる．したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{コ}}$である．ただし，$\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$は数値である．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C$と$l$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1\text{，}C$と$l$および直線$x=2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1\text{，}{S}_2$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$S_1\text{，}{S}_2$について，$2S_1+S_2$が最小となるときの$a$の値とそのときの$2S_1+S_2$の値を求めよ．