2015　関西学院大　教育(理系)，総合政策，理工学部個別日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$3$つの定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^2}\sqrt{4-x^2}dx\text{，}J={\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}}dx\text{，}K={\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{4+x-x^2}{\sqrt{4-x^2}}}dx$

の値を求めると，$I=\boxed{\text{ア}}\text{，}J=\boxed{\text{イ}}\text{，}K=\boxed{\text{ウ}}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2a_n+3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定義されている．$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくと，数列$\{b_n+1\}$は初項$\boxed{\text{エ}}\text{，}$公比$\boxed{\text{オ}}$の等比数列になるから，数列$\{a_n\}$の一般項を$n$の式で表すと，$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　${\displaystyle \frac{2x^3-7x^2+11x-16}{x{(x-2)}^3}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x-2}}+{\displaystyle \frac{c}{{(x-2)}^2}}+{\displaystyle \frac{d}{{(x-2)}^3}}$が$x$についての恒等式となるように定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を定めると，$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}\text{，}c=\boxed{\text{ケ}}\text{，}d=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．ただし，答えが$n$の多項式を因数として含む場合は，それを可能な限り因数分解した形で書け．

例　${\displaystyle \frac{n^2+3n+2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^n$のことは${\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{5}}{\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^n$あるいは${\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{5}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{2n}$と書け．

$0$から$3$までの数字が一つずつ書かれた$4$枚のカードから$1$枚を取り出して元に戻すという試行を$n$回行う．取り出した$n$枚に書かれていた数の和を$S_n$とし，$S_n\leqq 3$となる確率を$P_n$とする．

$P_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{P}_2=\boxed{\text{イ}}$である．

$n\geqq 3$のときは，$S_n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$に場合分けして考えよう．

$S_n=0$となる確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．

$S_n=1$となるのは$0$が$n-1$回，$1$が$1$回出る場合だから，その確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

$S_n=2$となる場合をさらに$2$つに分けて考える．$0$が$n-1$回出て$S_n=2$となる確率は$\boxed{\text{エ}}$に等しく，$0$が$n-2$回出て$S_n=2$となる確率は$\boxed{\text{オ}}$である．合計して，$S_n=2$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

$S_n=3$となる場合をさらに$3$つに分けて考える．$0$が$n-1$回出て$S_n=3$となる確率は$\boxed{\text{エ}}$に等しく，$0$が$n-\mathrm{２}$回出て$S_n=\mathrm{３}$となる確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}0$が$n-3$回出て$S_n=3$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．合計して，$S_n=3$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．

$S_n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$の場合をまとめて，$P_n=\boxed{\text{コ}}$となる．この式は$n\geqq 3$に限らず$n=1\text{，}2$でも成り立つ．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

四角形$\mathrm{OABC}$は次の$2$つの条件を満たすものとする：

・辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{CB}$は平行で$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{CB}=3$である．

・$▵\mathrm{OAC}$の面積は${\displaystyle \frac{3}{4}}$である．

$0<t<1$を満たす定数$t$に対して，線分$\mathrm{AC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=x$とおく．

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ウ}}$である．また，${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2$は$x$を用いて${\left|\overrightarrow{c}\right|}^2=\boxed{\text{エ}}$と表せる．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$は$s$と$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{オ}}$と表せる．

点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{B}$に一致するとき，$t=\boxed{\text{カ}}$である．また，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{CB}$を$4:1$に外分するとき，$t=\boxed{\text{キ}}$である．$t$がこの値をとり，しかも$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が直交するならば，$x=\boxed{\text{ク}}>0$または$x=\boxed{\text{ケ}}<0$であり，さらに$\angle \mathrm{AOC}$が鈍角ならば，$\cos \angle \mathrm{AOC}=\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　$a$を実数の定数とするとき，関数$f(x)=(x+1)e^{-a{x}^2}$について次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線が原点を通るとき，$a$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$が$x=1$で極値をとるような$a$の値を求めよ．また，このとき$f(x)$の極値をすべて求めよ．

(3)　$f(x)$が極値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{f(x)}}$が極値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．