2015　関西学院大　経済，国際，総合政策学部個別日程2月4日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　平面上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{P}$があり，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}-1\text{，}\mathrm{PA}=2\mathrm{PB}=2\mathrm{PC}$を満たしている．このとき$\angle \mathrm{PAB}=\boxed{\text{ア}}\mathrm{°}$である．$\mathrm{PB}=x$とおき，$▵\mathrm{ABP}$に余弦定理を適用すると，$2$次方程式

$3x^2-\boxed{\text{イ}}x+1=0$

を得る．ただし，$\boxed{\text{イ}}$は数値である．これを解いて$x=\boxed{\text{ウ}}$がわかる．また，$\angle \mathrm{ABP}=\boxed{\text{エ}}\mathrm{°}$である．さらに，$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{QB}=\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$個のサイコロを$3$回投げ，最初に出た目を$a\text{，}2$回目に出た目を$b\text{，}3$回目に出た目を$c$とする．$a=b\leqq c$となる場合の数は$\boxed{\text{カ}}$通りであり，$a<b<c$となる場合の数は$\boxed{\text{キ}}$通りである．また，$ab=c$となる場合の数は$\boxed{\text{ク}}$通りであり，$ab<c$となる場合の数は$\boxed{\text{ケ}}$通りであり，$ab>c$となる場合の数は$\boxed{\text{コ}}$通りである．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面において，放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$における放物線の接線を$l$とする．$l$の傾きを$t$を用いて表すと$\boxed{\text{ア}}$となる．$2$点$\mathrm{A}(1,2)\text{，}\mathrm{P}(t,t^2)$を通る直線を$m$とする．点$\mathrm{P}$が$(1,1)$でないとき，直線$m$の傾きは$\boxed{\text{イ}}$である．$l$が$m$と直交するとき，$t$の値は$t=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$となる．ただし，$\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$\left|\overrightarrow{a}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=7$を満たしている．このとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{カ}}$である．また，$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\boxed{\text{キ}}$であり，$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$と$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta =\boxed{\text{ク}}$である．さらに，$t$が実数全体を動くとき，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値は$\boxed{\text{ケ}}$で，そのときの$t$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$t$を実数とし，$t\geqq 0$とする．$xy$平面上の放物線$y=-x^2+2x$を$C\text{，}$直線$y=2x-2t$を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$と直線$l$の共有点の座標を求めよ．

(2)　放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$D_1$とし，直線$l\text{，}$直線$x=t+1$および$x$軸で囲まれた図形を$D_2$とするとき，$D_1$と$D_2$の共通部分の面積$S$を$t$を用いて表せ．