2015 関西学院大 理系関学独自入試2月5日実施MathJax

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2015 関西学院大学 理系関学独自方式

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(1)  x2 =t とおくと x 4-8 x2+ 15 t 2 次式となる.この 2 次式を因数分解すると となる.したがって,方程式 x4- 8x 2+15 =0 4 つの解のうち,最も小さいものは x = である.また, x3 -5x +2 x - は整数)で割り切れる.したがって, 3 次方程式 x3- 5x+ 2=0 3 つの解のうち,最も小さいものは である.

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【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(2)  2 直線 x +2y =24 2 x+y =27 の交点の座標は である.

x y 3 つの不等式 3 x+4 y48 x+2 y24 2x +y27 を同時に満たすとき, x+y の最大値は 最小値は である.

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【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(3)  ex (ex +1) 2 dx = +C である.ただし, C は積分定数を表す(以下も同様である).また,一般に公式 f( x)f (x ) dx= +C が成り立つ. 1 1+e -x を適当に変形してからこの公式を用いると, d x1+ e-x = +C が分かる.

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【2】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

1 4 4 9 9 9 16 16 16 16 k 2 k 個( k =1 2 3 )ずつ続く数列である.この数列の第 n 項を a n と表す. an =25 となるような n の範囲は n である.一般に an= k2 となる n の範囲を k で表すと

n (*)

である.したがって, a50 = n= 150 an= である.初項 a 1 から第 50 a 50 までのうち, 9 の倍数は 項ある.

はともに k の多項式で次数は等しい.その次数を p とする. an= k2 とすると, n したがって k のとき,(*)より nkp の極限値は である.したがって, limn a nnq q = のとき 0 でない極限値 をもつ.

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【3】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

a を正の定数とする. O を原点とする x yz 空間に 3 A ( 0,0, 4) B ( 0,2 2,0 ) C ( 4a+ 1,-2 ,3 ) がある. OAB の面積は であり,線分 OC の長さは である.

以下では BOC= 23 π であるとする.このとき a = である. 3 O A B を通る平面に点 C から垂線 CH を下ろすとき,線分 CH の長さは である.四面体 OABC の体積を V とすると, V= である.

3 O B C を通る平面に点 A から垂線 AH を下ろすとき, OH = sOB +t OC とすると s = t= である.点 H の座標は である.直線 OH と線分 BC の交点は,線分 BC の比に内分する.

A と異なる点 D が直線 AH 上にあり,四面体 DOBC の体積が V に一致するとき, D の座標は である.

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【4】 定数 a b に対して関数 f (x ) f (x )=a sinx +bsin 2x とおく.曲線 y =f( x) の点 ( π3 , f( π3 ) ) における接線の傾きが - 2 であるとき,次の問いに答えよ.

(1)  a b を用いて表せ.

(2) 不定積分 sin xcos xdx sin2 xcos xd x を求めよ.

(3)  p 0 でない定数のとき不定積分 x sinp xdx を求めよ.

(4)  0π 2f (x )cos xd x=3 であるとき, a b の値を求めよ.また,このとき定積分 0 π2 xf (x) dx の値を求めよ.

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