2015　関西学院大　神,商,国際,教育,総合政策学部個別日程2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$k$を$k^2\ne 1$を満たす実数とし，$xy$平面上の直線$y=x-1$を$l_1\text{，}$直線$y=-x+1$を$l_2\text{，}$直線$y=kx-2k+2$を$l_3$とする．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{A}\text{，}{l}_2$と$l_3$の交点を$\mathrm{B}\text{，}{l}_1$と$l_3$の交点を$\mathrm{C}$とする．交点$\mathrm{B}$の$x$座標を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{ア}}$であり，交点$\mathrm{C}$の$x$座標を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{イ}}$である．$\boxed{\text{ア}}<1<\boxed{\text{イ}}$であるとき，$k$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}<k<\boxed{\text{エ}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$個のサイコロを投げて，出た目が$3$の倍数なら$10$円もらえ，$3$の倍数でなければ$10$円支払うというサイコロ投げをする．最初$20$円持っている人が，所持金がなくなるまでサイコロ投げを続ける．このとき，サイコロ投げが$4$回以内に終了する確率は$\boxed{\text{カ}}$であり，サイコロ投げが$5$回で終了する確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，サイコロ投げを$5$回終えた時点で所持金が$10$円である確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$30$円である確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$50$円である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数

$y=-8{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta +4\sqrt{3}{\cos }^2\theta +{\displaystyle \frac{7}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\cdots \text{①}$

が最大値，最小値をとるときの$\theta$の値を求めよう．$t=\cos 2\theta$とおくと，${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるから$t$が取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ア}}\leqq t\leqq \boxed{\text{イ}}$である．$y$を$t$の式で表すと，$y=\boxed{\text{ウ}}$である．よって関数$\text{①}$は$\theta =\boxed{\text{エ}}$において最小値をとり，$\theta =\boxed{\text{オ}}$において最大値をとる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$において$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OCA}\text{，}▵\mathrm{OAB}$の重心をそれぞれ${\mathrm{O}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1$とする．このとき，$\overrightarrow{{\mathrm{OO}}_1}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて$\overrightarrow{{\mathrm{OO}}_1}=\boxed{\text{カ}}$と表せ，$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1}$は$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と表せる．ただし$\boxed{\text{キ}}$は数値である．また，$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}=\boxed{\text{ク}}$である．$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=60\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{COA}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$であるとき，$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1}$と$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$の内積は$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}=\boxed{\text{ケ}}$であり，$\overrightarrow{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{A}}_1}$と$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$のなす角を$\theta$とすると$\theta =\boxed{\text{コ}}\mathrm{°}$となる．

【３】　$a$は実数とし，$a\geqq 0$とする．$xy$平面において曲線$y=|x(x-4)|$を$C\text{，}$直線$y=ax$を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と$l$の共有点の個数を求めよ．

(2)　$0<a<4$のとき，曲線$C$と$l$で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　$0<a<4$とし，$S$を(2)で求めた面積とする．$S$が最小となるときの$a$の値を求めよ．