2015　西南学院大学　文,法学部Ａ日程MathJax

【１】

1　以下の問に答えよ．

(1)　$2$次不等式$a{x}^2+8x+b>0$の解が$-1<x<5$であるとき，$a=\boxed{\text{アイ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウエ}}$である．

【１】

1　以下の問に答えよ．

(2)　$y=|x^2+x-2|+x+1$の$-3\leqq x\leqq 1$における最大値は$\boxed{\text{オ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{カキ}}$である．

【１】

2　以下の問に答えよ．

(1)　正$12$角形の辺と対角線の数を会わせると全部で$\boxed{\text{クケ}}$本ある．

(2)　正$12$角形の辺と対角線を組み合わせてできる四角形は，全部で$\boxed{\text{コサシ}}$個である．

(3)　円$C$に内接する正$12$角形がある．その正$12$角形の隣りあう$2$つの頂点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．頂点$\mathrm{A}$を通る直線$l$が円$C$に接しているとき，直線$l$と直線$\mathrm{AB}$とがなす角は，$\boxed{\text{スセ}}\mathrm{°}$である．ただし，$0°\leqq \boxed{\text{スセ}}\mathrm{°}\leqq 90\mathrm{°}$とする．

【２】

１　$k$は実数の定数とする．$0\leqq x<2\pi$のとき，$x$の方程式

$\cos x-{\sin }^{2}x+1-{\displaystyle \frac{k}{4}}=0$

について，以下の問に答えよ．

(1)　方程式が解をもつのは，$k$が$\boxed{\text{ソタ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{チ}}$のときである．

(2)　$k=3$のとき，方程式の解は小さい順に，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\pi$である．

(3)　$-1<k<0$のとき，方程式の解の個数は$\boxed{\text{ニ}}$個である．

【２】

2　平面上に$2$つの円があり，それぞれの半径は$7$と$4$である．この$2$つの円の中心間の距離を$d\text{，}$共通接線の数を$n$とすると，$d$の値に応じて$n$の値が定まる．ただし，共通接線が存在しない場合は$n=0$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$d$が任意の値をとるとき，$n$の最大値は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

(2)　$d\leqq 11$のとき，$n$の最大値は$\boxed{\text{ネ}}$である．

(3)　$d<\boxed{\text{ノ}}$のとき，$n=0$である．

【３】

1　互いに平行ではない平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$について，ベクトルの和の結合法則

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

が成立していることを，有向線分を用いた図で確かめよ．ただし，成分を用いてはならない．

【３】

2　原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}$$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$を通る直線を$l$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$l$上の任意の点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とすると，直線$l$のベクトル方程式は実数$t$に対して，

$\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\cdots \text{①}$

となることを証明せよ．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$のなす角を$2$等分する直線$m$上の任意の点を$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とすると，直線$m$のベクトル方程式は，実数$k$に対して，

$\overrightarrow{q}=k({\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{b}\right|}})$

となることを証明せよ．

また，$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が直線$l$と直線$m$の交点であるとき，式$\text{①}$の$t$を$\left|\overrightarrow{a}\right|$と$\left|\overrightarrow{b}\right|$で表せ．