2015　西南学院大学　商,国際文化学部A日程MathJax

【１】

1　男子$4$人，女子$4$人の合計$8$人のメンバーがいる．

以下の問に答えよ．

(1)　$8$人を同性$2$人から成る$4$つのグループに分け，さらにこのグループを，先頭から男子グループ，女子グループ，男子グループ，女子グループの順に並べる方法は全部で$\boxed{\text{アイ}}$通りある．

(2)　くじ引きで，男女ペアから成る$4$つのグループを作る．このときメンバーの$1$人である自分が，ある特定の異性と同じグループになる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(3)　くじ引きで，$2$人ずつ$4$つのグループを作る．このとき同性同士のグループが少なくとも$1$つできる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

【１】

２　以下の問に答えよ．

(1)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <\pi$とする．$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}\sin \beta ={\displaystyle \frac{4}{5}}$のとき，$\sin (\alpha -\beta )=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}+\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{15}}\text{，}\cos (\alpha +\beta )=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{15}}$である．

【１】

２　以下の問に答えよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$とするとき，

関数$f(\theta )=\sin \theta +\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+\sin (\theta +{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$

の最大値は$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$である．

【２】

1　以下の問に答えよ．

(1)　$\sqrt{2}\text{，}\sqrt[3]{3}\text{，}\sqrt[6]{6}$の大小関係について，以下の1〜6の選択肢のうち，$\boxed{\text{ツ}}$が成立する．

1　$\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}$

2　$\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}$

3　$\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}$

4　$\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}$

5　$\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$

6　$\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}$

【２】

1　以下の問に答えよ．

(2)　$a>b>1$のとき，${\log }_{a}b-{\log }_{b}a=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{3}}$ならば，${\log }_{a}b+{\log }_{b}a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

【２】

1　以下の問に答えよ．

(3)　$y={\log }_8(1+x^2)-{\displaystyle \frac{1}{3}{\log }_{2}x}$は$x=\boxed{\text{ナ}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$をとる．

【２】

2　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{G}$とする．

直線$\mathrm{BG}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{P}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．

また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{DC}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{DQ}:\mathrm{QC}=\boxed{\text{フ}}:\boxed{\text{ヘ}}$である．

【３】　実数$a$の関数$F(a)$が

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x(x-a)|dx$

で与えられているとき，以下の問に答えよ．

(1)　$a>0$のとき，$xy$平面上に$y=|x(x-a)|$のグラフを描け．

(2)　$F(a)$を求めよ．

(3)　$ab$平面上に$b=F(a)$のグラフを描け．

(4)　$F(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．