2015　福岡大学　医学部医学科MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとき，$t=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{(1)}}$であり，また，$K=2{\sin }^2\theta +2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta +2\sqrt{3}\sin \theta +2\cos \theta -5$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　曲線$y=e^{-x^2}$上の$3$点$\mathrm{P}(0,1)\text{，}\mathrm{Q}(t,e^{-t^2})\text{，}\mathrm{R}(-t,e^{-t^2})$を通る円を$C$とする．円$C$の半径$r$を$t$の関数とみて$r(t)$と表すと，$r(t)=\boxed{\text{(3)}}$である．また，極限$\underset{t\to \infty }{\lim }r(t)$の値は$\boxed{\text{(4)}}$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$が互いに直交する四面体$\mathrm{OABC}$において，$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．また，$▵\mathrm{AMN}$と直線$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OG}$の比を求めると，$\mathrm{OP}:\mathrm{OG}=\boxed{\text{(5)}}$である．さらに，$\mathrm{AP}\perp \mathrm{MN}$のとき$\mathrm{OB}:\mathrm{OC}=\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a={\log }_{2}3\text{，}b={\log }_{2}5$とする．このとき$2^{-2a+b+1}$と$2^{2a-3}$の値を求めると$(2^{-2a+b+1},2^{2a-3})=\boxed{\text{(1)}}$である．さらに，$a={\log }_{2}3>1.584\text{，}b={\log }_{2}5<2.322$であることを用いて，$2^{0.16}$の値を小数第$1$位まで求めると$2^{0.16}=\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　単位円周上の$2n$個の点${\mathrm{P}}_k(\cos {\displaystyle \frac{k}{n}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{k}{n}}\pi )\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}2n-1\text{）}$を頂点とする正$2n$角形がある．この$2n$個の点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n-1}$から$4$点を選び，順に結んで$4$角形を作るとき，$4$つの角がすべて直角である$4$角形は$\boxed{\text{(3)}}$通りある．また，$4$つの角がどれも直角ではない$4$角形は$\boxed{\text{(4)}}$通りある．ただし，$n\geqq 3$である．

【３】　関数$f(x)=\log (1+\sqrt{2+x})-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2+x}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$および直線$y={\displaystyle \frac{\log 3-1}{4}}x+{\displaystyle \frac{\log 3-1}{2}}$とで囲まれる部分の面積を求めよ．