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2016 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
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[2] 次の問いに答えよ.必要ならば,が無理数であることを用いてよい.
(1) を有理数全体の集合,を無理数全体の集合とする.空集合をと表す.
次の(ⅰ)〜(ⅳ)が真の命題になるように,に当てはまるものを,下ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
(2) 実数に対する条件を次のように定める.
:は無理数
:は有理数
:は有理数
次のに当てはまるものを,下ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
はであるための.
はであるための.
必要十分条件である.
必要条件であるが,十分条件でない
十分条件であるが,必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない
2016 大学入試センター試験 本試
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【4】[1] 次のつの散布図は,年から年までのか月の東京の月別データをまとめたものである.それぞれ,日の最高気温の月平均(以下,平均最高気温),日あたり平均降水量,平均湿度,最高気温以上の日数の割合を横軸にとり,各世帯の日あたりアイスクリーム平均購入額(以下,購入額)を縦軸としてある.
出典:総務省統計局(2013)『家計調査年鑑』,『過去の気象データ』
(気象庁Webページ)などにより作成
(1) 次のに当てはまるものを,下ののうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.
上の散布図から読み取れることとして正しいのは,とである.
平均最高気温が高くなるほど購入額は増加する傾向にある.
日あたり平均降水量が多くなるほど購入額は増加する傾向にある.
平均湿度が高くなるほど購入額の散らばりは小さくなる傾向がある.
以上の日数の割合が未満の月は,購入額が円を越えていない.
この中で正の相関があるのは,平均湿度と購入額の間のみである.
(2) 次のつの散布図は,ページの散布図『平均最高気温と購入額』のデータを季節ごとにまとめたもので,その下にあるつの箱ひげ図は,購入額のデータを季節ごとにまとめたものである.
出典:総務省統計局(2013)『家計調査年鑑』,『過去の気象データ』
(気象庁Webページ)などにより作成
次のにあてはまるものを,下ののうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.
季節ごとの平均最高気温と購入額について,これらの図から読み取れることとして正しいものは,とである.
夏の購入額は,すべて円を上回っている.
秋には平均最高気温が以下で購入額が円を上回っている月がある.
購入額の範囲が最も大きいのは秋である.
春よりも秋の方が,購入額の最大値は小さい.
春よりも秋の方が,購入額の第四分位数は大きい.
春よりも秋の方が,購入額の中央値は大きい.
平均最高気温がを上回っている月があるのは夏だけである.
購入額の四分位範囲が最も小さいのは春である.
購入額が円を下回っている月は,すべて平均最高気温が未満である.
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〔2〕 世界都市(東京,市,市,市)の年の日の各日の最高気温のデータについて考える.
(1) 次のヒストグラムは,東京,市,市のデータをまとめたもので,この都市の箱ひげ図は下ののいずれかである.
東京 | 市 | 市 |
出典:『過去の気象データ』(気象庁Webページ)などにより作成
次のに当てはまるものを,下ののうちから一つ選べ.
都市名と箱ひげ図の組合せとして正しいものは,である.
(2) 次のつ散布図は,東京,市,市,市の年の日の各日の最高気温のデータをまとめたものである.それぞれ,市,市,市の最高気温を縦軸にとり,東京の最高気温を横軸にとってある.
出典:『過去の気象データ』(気象庁Webページ)などにより作成
次のに当てはまるものを,下ののうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.
これらの散布図から読み取れることとして正しいものは,とである.
東京と市,東京と市の最高気温の間にはそれぞれ正の相関がある.
東京と市の最高気温の間には正の相関,東京と市の最高気温の間には負の相関がある.
東京と市の最高気温の間には負の相関,東京と市の最高気温の間には正の相関がある.
東京と市の最高気温の間の相関の方が,東京と市の最高気温の間の相関より強い.
東京と市の最高気温の間の相関の方が,東京と市の最高気温の間の相関より弱い.
(3) 次のに当てはまるものを,下ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
市では温度の単位として摂氏()のほかに華氏()も使われている.華氏()での温度は,摂氏()での温度を倍し,を加えると得られる.例えば,摂氏は,倍し,を加えることで華氏となる.
したがって,市の最高気温について,摂氏での分散を華氏での分散をとすると,はになる.
東京(摂氏)と市(摂氏)の共分散を東京(摂氏)と市(華氏)の共分散をとすると,はになる(ただし,共分散はつの変量のそれぞれの偏差の積の平均値).
東京(摂氏)と市(摂氏)の相関係数を東京(摂氏)と市(華氏)の相関係数をとすると,はになる.
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[1] の辺の長さと角の大きさを測ったところ,およびであった.したがって,の外接円の半径はである.
外接円の,点を含む弧上で点を動かす.
(1) となるのはのときである.
(2) の面積が最大となるのはのときである.
(3) の値が最大となるのはのときであり,このときの面積はである.
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〔2〕 次のつの散布図は,年から年までのか月の東京の月別データをまとめたものである.それぞれ,日の最高気温の月平均(以下,平均最高気温),日あたり平均降水量,平均湿度,最高気温以上の日数の割合を横軸にとり,各世帯の日あたりアイスクリーム平均購入額(以下,購入額)を縦軸としてある.
出典:総務省統計局(2013)『家計調査年鑑』,『過去の気象データ』
(気象庁Webページ)などにより作成
次のに当てはまるものを,下ののうちから一つずつ選べ.ただし,解答の順序は問わない.
これらの散布図から読み取れることとして正しいのは,とである.
平均最高気温が高くなるほど購入額は増加する傾向にある.
日あたり平均降水量が多くなるほど購入額は増加する傾向にある.
平均湿度が高くなるほど購入額の散らばりは小さくなる傾向がある.
以上の日数の割合が未満の月は,購入額が円を越えていない.
この中で正の相関があるのは,平均湿度と購入額の間のみである.
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【3】 赤球個,青球個,白球個,合計個の球がある.これら個の球を袋の中に入れ,この球からさんがまず個取り出し,その球をもとに戻さずに続いてさんが個取り出す.
(1) さんとさんが取り出した個の球のなかに,赤球か青球が少なくとも個含まれている確率はである.
(2) さんが赤球を取り出し,かつさんが白球を取り出す確率はである.これより,さんが取り出した球が赤球であったとき,さんが取り出した球が白球である条件付き確率はである.
(3) さんは球取り出したのち,その色を見ずにポケットの中にしまった.さんが取り出した球が白球であることがわかったとき,さんが取り出した球も白球であった条件付き確率を求めたい.
さんが赤球を取り出し,かつさんが白球を取り出す確率はであり,さんが青球を取り出し,かつさんが白球を取り出す確率はである.同様に,さんが白球を取出し,かつさんが白球を取出す確率を求めることができ,これらの事象は互いに排反であるから,さんが白球を取出す確率はである.
よって,求める条件付き確率はである.
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参考図
【5】 四角形において,であり,つの頂点は同一円周上にある.対角線と対角線の交点を線分をの比に内分する点を直線と直線の交点をとする.
次のには,下ののうちから当てはまるものを一つ選べ.
の大きさが変化するとき四角形の外接円の大きさも変化することに注意すると,の大きさがいくらであっても,と大きさが等しい角は,ととである.
このことよりである.次に,と直線に着目すると,である.
(1) 直線が点を通る場合について考える.
このとき,の辺上に点があるので,である.
また,直線と直線が点で交わり,点は同一円周上にあるので,である.
(2) 四角形の外接円の直径が最小となる場合について考える.
このとき,四角形の外接円の直径はであり,である.
また,直線と直線の交点をとするとき,の関係に着目してを求めると,である.