2016　大学入試センター試験　本試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］(1)　$8^{\frac{5}{6}}=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}{\log }_{27}{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(2)　$y=2^x$のグラフと$y={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x$のグラフは$\boxed{\text{カ}}$である．

$y=2^x$のグラフと$y={\log }_{2}x$のグラフは$\boxed{\text{キ}}$である．

$y={\log }_{2}x$のグラフと$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$のグラフは$\boxed{\text{ク}}$である．

$y={\log }_{2}x$のグラフと$y={\log }_2{\displaystyle \frac{1}{x}}$のグラフは$\boxed{\text{ケ}}$である．

　$\boxed{\text{カ}}\text{〜}$$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　同一のもの
• $\overline{)\text{1}}$　$x$軸に関して対称

• $\overline{)\text{2}}$　$y$軸に関して対称
• $\overline{)\text{3}}$　直線$y=x$に関して対称

(3)　$x>0$の範囲における関数$y={({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{4}})}^2-4{\log }_{4}x+3$の最小値を求めよう．

　$t={\log }_{2}x$とおく．このとき，$y=t^2-\boxed{\text{コ}}t+\boxed{\text{サ}}$である．また，$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$t$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{シ}}$である．$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$t>0$
• $\overline{)\text{1}}$　$t>1$
• $\overline{)\text{2}}$　$t>0$かつ$t\ne 1$
• $\overline{)\text{3}}$　実数全体

　したがって，$y$は$t=\boxed{\text{ス}}$のとき，すなわち$x=\boxed{\text{セ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ソタ}}$をとる．

【１】

［２］　$k$を正の定数として

${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+k({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}})=0$$\cdots \text{①}$

を満たす$x$について考える．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$\text{①}$を満たす$x$の個数について考えよう．

　 $\text{①}$の両辺に${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$をかけ，$2$倍角の公式を用いて変形すると

$({\displaystyle \frac{{\sin }^{2}2x}{\boxed{\text{チ}}}}-k)\cos 2x=0$$\cdots \text{②}$

を得る．したがって，$k$の値に関係なく，$x={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ツ}}}}$のときはつねに$\text{①}$が成り立つ．また，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$0<{\sin }^{2}2x\leqq 1$であるから，$k>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$のとき，$\text{①}$を満たす$x$は${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ツ}}}}$のみである．一方，$0<k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$のとき，$\text{①}$を満たす$x$の個数は$\boxed{\text{ナ}}$個であり，$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$のときは$\boxed{\text{ニ}}$個である．

(2)　$k={\displaystyle \frac{4}{25}}$とし，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$\text{①}$を満たす$x$について考えよう．

　$\text{②}$により$\sin 2x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$であるから

$\cos 2x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

である．したがって

$\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{フ}}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$

である．

【２】　座標平面上で，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$を$C_1$とし，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$を$C_2$とする．

(1)　実数$a$に関して，$2$直線$x=a\text{，}$$x=a+1$と$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた図形$D$の面積$S$は

$\begin{array}{ll}S& ={\displaystyle {\int }_a^{a+1}}({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イ}}}})dx\\ & ={\displaystyle \frac{a^2}{\boxed{\text{ウ}}}}+{\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{エ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}\end{array}$

である．$S$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$で最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}$をとる．

(2)　$4$点$(a,0)\text{，}$$(a+1,0)\text{，}$$(a+1,1)\text{，}$$(a,1)$を頂点とする正方形を$R$で表す．$a$が$a\geqq 0$の範囲を動くとき，正方形$R$と(1)の図形$D$の共通部分の面積を$T$とおく．$T$が最大となる$a$の値を求めよう．

　直線$y=1$は，$C_1$と$(\pm \boxed{\text{ソ}},1)$で，$C_2$と$(\pm \boxed{\text{タ}},1)$で交わる．したがって，正方形$R$と図形$D$の共通部分が空集合にならないのは，$0\leqq a\leqq \boxed{\text{チ}}$のときである．

　$\boxed{\text{ソ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{チ}}$のとき，正方形$R$は放物線$C_1$と$x$軸の間にあり，この範囲で$a$が増加するとき，$T$は$\boxed{\text{ツ}}\text{，}$$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　増加する
• $\overline{)\text{1}}$　減少する
• $\overline{)\text{2}}$　変化しない

　したがって，$T$が最大になる$a$の値は，$0\leqq a\leqq \boxed{\text{ソ}}$の範囲にある．

　$0\leqq a\leqq \boxed{\text{ソ}}$のとき，(1)の図形$D$のうち，正方形$R$の外側にある部分の面積$U$は

$U={\displaystyle \frac{a^3}{\boxed{\text{テ}}}}+{\displaystyle \frac{a^2}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．よって，$0\leqq a\leqq \boxed{\text{ソ}}$において

$T=-{\displaystyle \frac{a^3}{\boxed{\text{ナ}}}}-{\displaystyle \frac{a^2}{\boxed{\text{ニ}}}}+{\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{ヌ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$$\cdots \text{①}$

である．$\text{①}$の右辺の増減を調べることにより，$T$は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノ}}+\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

で最大値をとることがわかる．

【３】　座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,0)\text{，}$$\mathrm{P}(-1,3)\text{，}$$\mathrm{Q}(1,1)$がある．線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{R}$をとり，その$x$座標を$a$とする．さらに，三角形$\mathrm{ABR}$の外接円を$C$とし，その中心を$\mathrm{S}$とする．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表すと

$(a,\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}})$

である．

　また，線分$\mathrm{AR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{M}$の座標を$a$を用いて表すと

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}-\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}+\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}})$

である．

(2)　外接円$C$の中心$\mathrm{S}$は，線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線と，線分$\mathrm{AR}$の垂直二等分線$l$との交点である．このことを用いて$\mathrm{S}$の座標を求めよう．

　線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線は$y$軸である．また，$l$は，(1)の点$\mathrm{M}$を通り，傾き${\displaystyle \frac{a+\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}-\boxed{\text{ス}}}}$の直線である．

　以上のことから，$\mathrm{S}$の座標は

$(\boxed{\text{セ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}{a}^2+\boxed{\text{チ}}a-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}a-\boxed{\text{ト}}}})$

であることがわかる．

(3)　円$C$が点$\mathrm{R}$で直線$\mathrm{PQ}$に接するときの$a$の値を求めよう．

　$C$が直線$\mathrm{PQ}$に接するとき，直線$\mathrm{RS}$の傾きは$\boxed{\text{ナ}}$である．このことと，$-1\leqq a\leqq 1$であることから，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}-\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

【４】(1)　$4$次方程式$x^4+2x^2+25=0$の解を求めよう．

　$t=x^2$とおいて得られる$2$次方程式$t^2+2t+25=0$の判別式を$D$とするとき

$D=\boxed{\text{アイウ}}$

であり，$2$次方程式の解は

$t=\boxed{\text{エオ}}\pm \boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}i$

である．$2$乗すると虚数$t$になる複素数を求める代わりに，以下のように考える．

　上の$4$次方程式を，正の実数$A\text{，}$$B$により${(x^2+A)}^2-B{x}^2=0$と変形すると

$A=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$B=\boxed{\text{ケ}}$

である．

　したがって，等式

${(x^2+A)}^2-B{x}^2=(x^2+\sqrt{B}x+A)(x^2-\sqrt{B}x+A)$

を利用すると，$4$次方程式$x^4+2x^2+25=0$の解は

$x=-\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\pm \sqrt{\boxed{\text{サ}}}i\text{，}$$\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\pm \sqrt{\boxed{\text{サ}}}i$

であることがわかる．

【４】(2)　$q\text{，}$$r$を実数として，整式$P(x)=x^3-2x^2+qx+2r$を考える．$3$次方程式$P(x)=0$の解が$-2$と二つの自然数$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$であるとき，$\alpha \text{，}$$\beta$と$q\text{，}$$r$を求めよう．

　$P(-2)=0$であるから，$r=q+\boxed{\text{シ}}$である．したがって，因数定理により

$P(x)=(x+2)(x^2-\boxed{\text{ス}}x+q+\boxed{\text{セ}})$

となる．

　ここで，$2$次方程式

$x^2-\boxed{\text{ス}}x+q+\boxed{\text{セ}}=0$

は，二つの自然数$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$を解にもつから

$\alpha =\boxed{\text{ソ}}\text{，}$$\beta =\boxed{\text{タ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{チツ}}\text{，}$$r=\boxed{\text{テ}}$

である．

【３】　真分数を分母の小さい順に，分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列

${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}\cdots$

を$\{a_n\}$とする．真分数とは，分子と分母がともに自然数で，分子が分母より小さい分数のことであり，上の数列では，約分できる形の分数も含めて並べている．以下の問題に分数形で解答する場合は，解答上の注意にあるように，それ以上約分できない形で答えよ．

(1)　$a_{15}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．また，分母に初めて$8$が現れる項は，$a_{\boxed{\text{ウエ}}}$である．

(2)　$k$を$2$以上の自然数とする．数列$\{a_n\}$において，${\displaystyle \frac{1}{k}}$が初めて現れる項を第$M_k$項とし，${\displaystyle \frac{k-1}{k}}$が初めて表れる項を$N_k$項とすると

$M_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{k}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}k+\boxed{\text{ケ}}$

$N_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{k}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}k$

である．よって，$a_{104}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．

(3)　$k$を$2$以上の自然数とする．数列$\{a_n\}$の第$M_k$項から第$N_k$項までの和は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}k-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．したがって，数列$\{a_n\}$の初項から第$N_k$項までの和は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{k}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}k$

である．よって

${\displaystyle \sum _{n=1}^{103}}{a}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハヒフ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}}$

である．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=60\mathrm{°}$であるとする．また，辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$をとる．以下，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　$0\leqq s\leqq 1\text{，}$$0\leqq t\leqq 1$であるような実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表す．$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\boxed{\text{イ}}$であることから

${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2={(\boxed{\text{ウ}}s-\boxed{\text{エ}})}^2$$+{(\boxed{\text{オ}}t-\boxed{\text{カ}})}^2+\boxed{\text{キ}}$

となる．したがって，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$が最小となるのは$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のときであり，このとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$となる．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$のとき，三角形$\mathrm{GPQ}$の面積を求めよう．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\boxed{\text{ス}}$から，$\angle \mathrm{APQ}=\boxed{\text{セソ}}\mathrm{°}$である．したがって，三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$である．また

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

であり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AQ}$を$\boxed{\text{ナ}}:1$に内分する点である．

　以上のことから，三角形$\mathrm{GPQ}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【５】　$n$を自然数とする．原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を$n$回移動する点$\mathrm{A}$を考える．点$\mathrm{A}$は，$1$回ごとに，確率$p$で正の向きに$3$だけ移動し，確率$1-p$で負の向きに$1$だけ移動する．ここで，$0<p<1$である．$n$回移動した後の点$\mathrm{A}$の座標を$X$とし，$n$回の移動のうち正の向きの移動の回数を$Y$とする．

　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　$p={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$n=2$のとき，確率変数$X$のとり得る値は，小さい順に$-\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$であり，これらの値をとる確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(2)　$n$回移動したとき，$X$と$Y$の間に

$X=\boxed{\text{ク}}n+\boxed{\text{ケ}}Y$

の関係が成り立つ．

　確率変数$Y$の平均（期待値）は$\boxed{\text{コ}}\text{，}$分散は$\boxed{\text{サ}}$なので，$X$の平均は$\boxed{\text{シ}}\text{，}$分散は$\boxed{\text{ス}}$である．$\boxed{\text{コ}}\text{〜}$$\boxed{\text{ス}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{b}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(3)　$p={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$1200$回移動した後の点$\mathrm{A}$の座標$X$が$120$以上になる確率の近似値を求めよう．

　(2)により，$Y$の平均は$\boxed{\text{セソタ}}\text{，}$標準偏差は$\boxed{\text{チツ}}$であり，求める確率は次のようになる．

$P(X\geqq 120)=P({\displaystyle \frac{Y-\boxed{\text{セソタ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}\geqq \boxed{\text{テ}}.\boxed{\text{トナ}})$

いま，標準正規分布に従う確率変数を$Z$とすると，$n=1200$は十分に大きいので，求める確率の近似値は正規分布表から次のように求められる．

$P(Z\geqq \boxed{\text{テ}}.\boxed{\text{トナ}})=0.\boxed{\text{ニヌネ}}$

(4)　$p$の値がわからないとする．$2400$回移動した後の点$\mathrm{A}$の座標が$X=1440$のとき，$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めてみよう．

　$n$回移動したときに$Y$がとる値を$y$とし，$r={\displaystyle \frac{y}{n}}$とおくと，$n$が十分に大きいならば，確率変数$R={\displaystyle \frac{Y}{n}}$は近似的に平均$p\text{，}$分散${\displaystyle \frac{r(1-r)}{n}}$の正規分布に従う．

　$n=2400$は十分に大きいので，このことを利用し，分散を${\displaystyle \frac{r(1-r)}{n}}$で置き換えることにより，求める信頼区間は

$0.\boxed{\text{ノハヒ}}\leqq p\leqq 0.\boxed{\text{フヘホ}}$

となる．