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2016-10001-0201
2016 北海道大学 後期
理学部,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 0<t ≦π 2 とし,媒介変数 θ を用いて
x=cos 3⁡θ , y=sin 3⁡θ ( 0≦θ≦ t)
と表される曲線の長さを l ⁡(t ) とおく.
(1) l⁡( t) を求めよ.
(2) 原点 O ( 0,0 ) と点 P ( cos3⁡ t,sin3 ⁡t ) の距離を k ⁡(t ) とおく. 0<t ≦ π2 において, k ⁡(t ) l⁡( t) の最小値とそのときの P の座標を求めよ.
2016-10001-0202
【2】 3 点 O ( 0,0 ), A (a ,a2 ), B (b ,b2 +1) を考える.
(1) a が 0 <a<2 をみたすとき, ▵OAB が不等式
x2 ≦y≦ x2+1
の表す領域に含まれるための b の条件を a を用いて表せ.
(2) a ,b が(1)の条件をみたすとき, ▵OAB の面積の最大値とそのときの a , b の値を求めよ.
2016-10001-0203
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【3】 複素数平面上の 2 点 P( z) ,Q (w ) が次の 2 つの条件をみたすとする.ただし, O( 0) は原点である.
・線分 OP の長さと線分 OQ の長さの積が 1 に等しい.
・ O を端とする半直線 OP 上に Q がある.
(1) z を w を用いて表せ.
(2) 点 A (1- i) を中心とする半径 2 の円から O を除いた曲線の上を P が動くとき, Q の軌跡を図示せよ.ただし, i は虚数単位である.
(3) r>0 とし, β を絶対値 | β| が r に等しくない複素数とする. P が点 B( β) を中心とする半径 r の円上を一周するとき, Q の軌跡を求めよ.
2016-10001-0204
【4】 自然数 n に対して
an =( 1+2 )n +( 1-2 )n
とおく.
(1) a1 , a2 を求め,
an+ 2=2 ⁢an +1+ an ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
が成り立つことを示せ.
(2) a13 と a 14 の 1 の位の数をそれぞれ求めよ.
(3) [ (1 +2 )1000 ] の 1 の位の数を求めよ.ただし,実数 x に対して [ x] は x を越えない最大の整数を表す.たとえば [ 1+2 ]= 2 である.