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2016 北海道大学 後期

理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【1】  0<t π 2 とし,媒介変数 θ を用いて

x=cos 3θ y=sin 3θ 0θ t

と表される曲線の長さを l (t ) とおく.

(1)  l( t) を求めよ.

(2) 原点 O ( 0,0 ) と点 P ( cos3 t,sin3 t ) の距離を k (t ) とおく. 0<t π2 において, k (t ) l( t) の最小値とそのときの P の座標を求めよ.

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理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【2】  3 O ( 0,0 ) A (a ,a2 ) B (b ,b2 +1) を考える.

(1)  a 0 <a<2 をみたすとき, OAB が不等式

x2 y x2+1

の表す領域に含まれるための b の条件を a を用いて表せ.

(2)  a b が(1)の条件をみたすとき, OAB の面積の最大値とそのときの a b の値を求めよ.

2016 北海道大学 後期

理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【3】 複素数平面上の 2 P( z) Q (w ) が次の 2 つの条件をみたすとする.ただし, O( 0) は原点である.

・線分 OP の長さと線分 OQ の長さの積が 1 に等しい.

O を端とする半直線 OP 上に Q がある.

(1)  z w を用いて表せ.

(2) 点 A (1- i) を中心とする半径 2 の円から O を除いた曲線の上を P が動くとき, Q の軌跡を図示せよ.ただし, i は虚数単位である.

(3)  r>0 とし, β を絶対値 | β| r に等しくない複素数とする. P が点 B( β) を中心とする半径 r の円上を一周するとき, Q の軌跡を求めよ.

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理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【4】 自然数 n に対して

an =( 1+2 )n +( 1-2 )n

とおく.

(1)  a1 a2 を求め,

an+ 2=2 an +1+ an n= 1 2 3

が成り立つことを示せ.

(2)  a13 a 14 1 の位の数をそれぞれ求めよ.

(3)  [ (1 +2 )1000 ] 1 の位の数を求めよ.ただし,実数 x に対して [ x] x を越えない最大の整数を表す.たとえば [ 1+2 ]= 2 である.

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