2016　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$を$C$とする．$p^2>4q$を満たす$p\text{，}q$について，点$\mathrm{A}(p,q)$から曲線$C$に$2$つの接線を引く．次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの接線の傾きを求めよ．

(2)　接線が垂直に交わるのは，点$\mathrm{A}$がどのような条件を満たすときか．

(3)　点$\mathrm{A}$の座標が$(0,-1)$のとき，$2$つの接線と曲線$C$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\angle \mathrm{BAC}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{PAC}=\beta$とする．ただし$\alpha <90\mathrm{°}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{APC}$の面積を$S$とするとき，公式

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AC}\sin \beta$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mathrm{AB}\sin (\alpha -\beta ):\mathrm{AC}\sin \beta$を示せ．

(3)　$\angle \mathrm{C}=90\mathrm{°}$とする．(2)を用いて

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

が成り立つことを示し，$\sin 15\mathrm{°}$の価を計算せよ．

【３】　$a\text{，}p\text{，}q$は定数で，$p>0\text{，}pa<q$を満たすとする．数列$\{a_n\}$が条件

$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}=(1+p)a_n-q\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められている．次の問いに答えよ．ただし${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．すべての自然数$n$について，$b_n<0$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a=100\text{，}p=0.2\text{，}q=30$とする．${\mathrm{loig}}_{10}1.2$を計算し，初めて$a_n<0$となる自然数$n$を求めよ．