2016　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とし，$a\ne 0$とする．関数$f(x)$を

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

と定める．放物線$y=f(x)$の頂点の$x$座標を$x=1$とする．また，放物線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点の$x$座標を$x=2$と$x=-3$とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　放物線$y=f(x)$と関数$y=\left|x\right|$のグラフの交点をすべて求めよ．

(3)　放物線$y=f(x)$と関数$y=\left|x\right|$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　関数$y=f(x)$のグラフが媒介変数$\theta$を用いて

$\{\begin{array}{c}x=\sin \theta -\theta \cos \theta \\ y=\cos \theta +\theta \sin \theta \end{array}\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

と表されている．

(1)　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\theta \sin 2\theta d\theta$および${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\theta }^2\cos 2\theta d\theta$を計算せよ．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および$2$直線$x=0$と$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}m$を整数とする．

(1)　$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．

(2)　等式

$a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．

(3)　$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．

【４】　各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は

$a_1=1\text{，}{b}_1=e\text{，}$

$a_{n+1}={a_n}^5\cdot {b_n}^3\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$c_n=\log a_n\text{，}{d}_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．

$c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n)$

を満たす定数$\alpha \text{，}\beta$の組をすべて求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　$▵\mathrm{OAB}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$を満たすとする．また，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$への垂線との交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　面積の比$▵\mathrm{POA}:▵\mathrm{PAB}:▵\mathrm{PBO}$を求めよ．