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2016 帯広畜産大学 前期総合問題

易□ 並□ 難□

【1】 原点 O を中心とする半径 1 の円 C 上に点 P をとり,点 P における円 C の接線 L の方程式を y =ax +b とする.接線 L は, x 軸と点 A で, y 軸と点 B で交わり, AOB の面積を S とする.また, x 軸の正の向きを始線とし,それと直線 OP のなす正の角を θ で表す.ただし,

a>0 b>0 (*)

とする.次の各問に答えなさい.

問1(1) 直線 OP の傾きを a を用いて表しなさい.

(2)  a b sin θ を用いて表しなさい.

(3)  S sin 2 θ を用いて表しなさい.

問2  θ= 2 π3 とする.

(1)  a b S の値をそれぞれ求めなさい.

(2) 点 A と点 B の座標を求めなさい.

(3)  tan2 θ の値を求めなさい.

問3  θ<2 π とする. S が最小になるとき,条件(*)の下で θ S のそれぞれの値を求めなさい.

問4  θ<200 π とする. S が最小になるとき,条件(*)の下で θ がとりうるすべての値の和を π を用いて表しなさい.

2016 帯広畜産大学 前期総合問題

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )= x2- 4x+ 5 を用いて,放物線 C y=f ( x) が定義されている.放物線 C 上の点 P x 座標を t とし,原点 O ( 0,0 ) x 軸上の点 Q ( t,0 ) を考える.ただし, t>0 とする.各問に答えなさい.

問1 銭分 OQ と線分 PQ の長さの和を t の関数として L ( t) で表す.

(1)  L( t) t の式で表しなさい.

(2)  L( t) が最小値をとるとき, t L (t ) の値をそれぞれ求めなさい.

問2 放物線 C の頂点を A とする.

(1) 点 A の座標を求めなさい.

(2) 直線 OP が点 A を通るとき,直線 OP と放物線 C で囲まれた部分の面積を求めなさい.

(3) 直線 OP が放物線 C の接線となるとき, t の値と直線 OP の方程式を求めなさい.

問3  OPQ の面積を t の関数として S1 (t ) で表す.また,直線 OP と放物線 C および y 軸で囲まれた部分の面積を t の関数として S2 (t ) で表す.ただし, 0<t 2 とする.

(1)  S1 ( t) t の式で表しなさい.また,関数 S1 (t ) の導関数 S1 ( t) を求めなさい.

(2)  S1 ( t) の最大点と最小点をそれぞれ求めなさい.

(3)  S2 ( t) の最大値を求めなさい.

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