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【1】 原点を中心とする半径の円上に点をとり,点における円の接線の方程式をとする.接線は,軸と点で,軸と点で交わり,の面積をとする.また,軸の正の向きを始線とし,それと直線のなす正の角をで表す.ただし,
(*)
とする.次の各問に答えなさい.
問1(1) 直線の傾きをを用いて表しなさい.
(2) をを用いて表しなさい.
(3) をを用いて表しなさい.
問2 とする.
(1) の値をそれぞれ求めなさい.
(2) 点と点の座標を求めなさい.
(3) の値を求めなさい.
問3 とする.が最小になるとき,条件(*)の下でとのそれぞれの値を求めなさい.
問4 とする.が最小になるとき,条件(*)の下でがとりうるすべての値の和をを用いて表しなさい.
【2】 関数を用いて,放物線が定義されている.放物線上の点の座標をとし,原点と軸上の点を考える.ただし,とする.各問に答えなさい.
問1 銭分と線分の長さの和をの関数としてで表す.
(1) をの式で表しなさい.
(2) が最小値をとるとき,との値をそれぞれ求めなさい.
問2 放物線の頂点をとする.
(1) 点の座標を求めなさい.
(2) 直線が点を通るとき,直線と放物線で囲まれた部分の面積を求めなさい.
(3) 直線が放物線の接線となるとき,の値と直線の方程式を求めなさい.
問3 の面積をの関数としてで表す.また,直線と放物線および軸で囲まれた部分の面積をの関数としてで表す.ただし,とする.
(1) をの式で表しなさい.また,関数の導関数を求めなさい.
(2) の最大点と最小点をそれぞれ求めなさい.
(3) の最大値を求めなさい.