2016　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\tan }^{n}xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$\tan x\leqq x+1-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$が成り立つことを示せ．

問２　$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

問３　$I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ．

問４　問３までの結果を用いて，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}}$の和を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}$および$y>0$を満たす動点$\mathrm{C}(x,y)$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

問１　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

問２　$▵\mathrm{ABC}$の内接円$O_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ．

問３　$x$軸，辺$\mathrm{AC}$の延長線，および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$O_2$を考える．$x$軸上の接点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}\text{，}$そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする．

(1)　$\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(2)　円$O_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　円$O_1$の中心を$\mathrm{I}\text{，}$円$O_2$の中心を$\mathrm{J}$とする．${\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}=2$となるとき，$▵\mathrm{OIJ}$の面積を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C_a\text{：}y=e^{ax}$上を，点,$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く．このとき，次の問いに答えよ．

問１　曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．

問２　問１で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を${\mathrm{P}}_a$とする．

(1)　$d(a)$を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．

(3)　$a$が問１で求めた範囲を動くときの点${\mathrm{P}}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

問３　$d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}$の袋には赤玉$5$個，白玉$1$個が入っている．$\mathrm{B}$の袋には赤玉$2$個，白玉$2$個が入っている．この$2$つの袋は見た目では区別できないものとする．このとき，次の確率を求めよ．

問１　$2$つの袋からそれぞれ$2$個ずつ，合計$4$個の玉を取り出すとき，赤玉が$3$個以上である確率

問２　どちらか一方の袋を選んで$1$個の玉を取り出すとき，それが赤玉である確率

問３　どちらか一方の袋を選んで$2$個の玉を取り出すとき，$1$個でも白玉があれば「袋$\mathrm{B}$を選んだ」と判断する．袋$\mathrm{A}$を選んで取り出したときに「袋$\mathrm{B}$を選んだ」と判断してしまう確率