2016　弘前大学　前期MathJax

【１】　$k$を実数とする．放物線$C\text{：}y=-2x^2$と直線$l\text{：}y=kx-2$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha \text{，}$点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$としたとき，$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$の値を$k$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ引き，その交点を$\mathrm{R}$とする．$k$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$の比に内分する点を$\mathrm{X}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$y:(1-y)$の比に内分する点を$\mathrm{Y}$とする．ただし$0<x<1\text{，}0<y<1$とする．線分$\mathrm{YA}$と線分$\mathrm{XB}$の交点を$\mathrm{Z}$とする．

(1)　点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{XB}$を$s:(1-s)$の比に内分しているとする．$s$を$x$と$y$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための条件を$x\text{，}y$の式で表せ．

【３】　半円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=3\text{，}y>0$と放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2$を考える．点$(2,0)$を通り，$C_1$と接する直線を$l$とし，$C_1$と$l$の接点を$\mathrm{T}$とする．

(1)　$l$の方程式をもとめよ．

(2)　$C_2$が点$\mathrm{T}$を通るときの$a$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$に対して，$C_2$と$l$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1-S_2$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$のグラフの概形をかけ．

【４】　次の問いに答えよ

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}x\sqrt{2-x}dx$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ

(1)　関数$f(x)=x(x^2-4x+3)$の極値を求めよ．

(2)　$k$を定数とするとき，方程式$x|x^2-4x+3|=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

【６】　円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．点$\mathrm{A}(6,0)$を通り，$l$に垂直な直線が，$l$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{PQ}$の最大値を求めよ．

【７】　$2$つの複素数$w\text{，}z$が$w={\displaystyle \frac{iz}{z-2}}$を満たしているとする．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上で，点$z$が原点を中心とする半径$2$の円周上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．ただし，$z\ne 2$とする．

(2)　複素数平面上で点$z$が虚軸上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．

(3)　複素数平面上で点$w$が実軸上を動くとき，点$z$はどのような図形を描くか．