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2016 東北大学 後期

経済学部

易□ 並□ 難□

【1】  a b c を正の実数で, ab c=1 を満たすものとする.このとき,次の(1),(2)の不等式を示せ.

(1)  a2 +b2 +c2 1a+ 1b + 1c a+b +c

(2)  a+b+ c3

2016 東北大学 後期

経済学部

易□ 並□ 難□

【2】 連立不等式

{ x2 +y2 1 yx2 -1

の表す領域を D とおく.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 領域 D の概形を図示せよ.

(2) 直線 y =k( x+2) -2 D が共有点をもつときの直線の傾き k のとりうる値の範囲を求めよ.

2016 東北大学 後期

経済・理学部共通

易□ 並□ 難□

【3】 サイコロを 7 個同時に 1 回振るとき, 1 から 6 の目がすべて出る事象を A とし,同じ目が 6 個以上出る事象を B とする.事象 B が起こらなかった場合に事象 A の起こる確率を求めよ.

2016 東北大学 後期

経済学部

易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面において, O ( 0,0 ) A (1 ,0) B ( 0,3 ) C ( -1,0 ) とする. 0<t< 1 とし,線分 AB t :1-t に内分する点を P 線分 BC t :1-t に内分する点を Q θ =POQ とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  T=t (1- t) とするとき, cosθ T で表せ.

(2)  t 0 <t<1 を動くとき, θ の最小値を求めよ.

2016 東北大学 後期

理学部

易□ 並□ 難□

【1】 平面上の点 O を中心とする半径 1 の円周上に相異なる n 個の点 A1 A n があって,各 j j= 1 n に対して

OAj = OAk + OAl

を満たす k l が存在するとする.このとき n 6 の倍数であることを示せ.

2016 東北大学 後期

理学部

易□ 並□ 難□

【2】 あるウイルスの感染拡大について次の仮定で試算を行う.このウイルスの感染者は感染してから 1 日の潜伏期間をおいて, 2 日後から毎日 2 人の未感染者にこのウイルスを感染させるとする.新たな感染者 1 人が感染源となった n 日後の感染者数を a n 人とする.たとえば, 1 日後には感染者は増えず a1= 1 で, 2 日後は 2 人増えて a2=3 となる.以下の問いに答えよ.

(1)  an+ 2 a n+1 an n=1 2 3 の間に成り立つ関係式を求めよ.

(2) 一般項 a n を求めよ.

(3) 感染者数が初めて 1 万人を超えるのは何日後か求めよ.

2016 東北大学 後期

理学部

易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面において曲線 y =2 1-x2 -1x 1 x 軸との交点を A ( 1,0) B ( -1,0 ) とし, y 軸との交点を C ( 0,2 ) 原点を O とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) この曲線の第 1 象限の部分に A C と異なる点 P を四角形 OAPC の面積が最大となるようにとる.このとき, P の座標とその最大値を求めよ.

(2) この曲線上に A B C と異なる 2 E F を任意にとる.これら 5 点で作られる五角形の面積の最大値を求めよ.

2016 東北大学 後期

理学部

易□ 並□ 難□

【5】  z w を相異なる複素数で z の虚部は正, w の虚部は負とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  1 z -1 w が複素数平面の同一円周上にあるための必要十分条件は

( 1+w) (1 -z) (1- w) (1+z )

が負の実数となることであることを示せ.

(2)  z=x+ yi x <0 y >0 を満たすとする. 1 z -1 1 +z2 2 が複素数平面の同一円周上にあるとき,複素数 z の軌跡を求めよ.

2016 東北大学 後期

理学部

易□ 並□ 難□

【6】 以下の問いに答えよ.

(1)  n を正の整数として,次の定積分を求めよ.

02 πx 2cos nx dx

(2) 次の積分値 I を最小にする実数 a の値と,その最小値を求めよ.

I= 0 2π ( x2- acos 2x) 2d x

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