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2016-10081-0201
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2016 東北大学 後期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b , c を正の実数で, a⁢b⁢ c=1 を満たすものとする.このとき,次の(1),(2)の不等式を示せ.
(1) a2 +b2 +c2 ≧ 1a+ 1b + 1c≧ a+b +c
(2) a+b+ c≧3
2016-10081-0202
【2】 連立不等式
{ x2 +y2 ≦1 y≧x2 -1
の表す領域を D とおく.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 領域 D の概形を図示せよ.
(2) 直線 y =k⁢( x+2) -2 と D が共有点をもつときの直線の傾き k のとりうる値の範囲を求めよ.
2016-10081-0203
経済・理学部共通
【3】 サイコロを 7 個同時に 1 回振るとき, 1 から 6 の目がすべて出る事象を A とし,同じ目が 6 個以上出る事象を B とする.事象 B が起こらなかった場合に事象 A の起こる確率を求めよ.
2016-10081-0204
【4】 xy 平面において, O ( 0,0 ), A (1 ,0) ,B ( 0,3 ) ,C ( -1,0 ) とする. 0<t< 1 とし,線分 AB を t :1-t に内分する点を P , 線分 BC を t :1-t に内分する点を Q ,θ =∠POQ とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) T=t⁡ (1- t) とするとき, cos⁡θ を T で表せ.
(2) t が 0 <t<1 を動くとき, θ の最小値を求めよ.
2016-10081-0205
理学部
【1】 平面上の点 O を中心とする半径 1 の円周上に相異なる n 個の点 A1 , ⋯ ,A n があって,各 j ( j= 1 ,⋯ , n ) に対して
OAj →= OAk →+ OAl→
を満たす k , l が存在するとする.このとき n は 6 の倍数であることを示せ.
2016-10081-0206
【2】 あるウイルスの感染拡大について次の仮定で試算を行う.このウイルスの感染者は感染してから 1 日の潜伏期間をおいて, 2 日後から毎日 2 人の未感染者にこのウイルスを感染させるとする.新たな感染者 1 人が感染源となった n 日後の感染者数を a n 人とする.たとえば, 1 日後には感染者は増えず a1= 1 で, 2 日後は 2 人増えて a2=3 となる.以下の問いに答えよ.
(1) an+ 2 ,a n+1 , an ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) の間に成り立つ関係式を求めよ.
(2) 一般項 a n を求めよ.
(3) 感染者数が初めて 1 万人を超えるのは何日後か求めよ.
2016-10081-0207
【4】 xy 平面において曲線 y =2⁢ 1-x2 ( -1≦x ≦1 ) と x 軸との交点を A ( 1,0) ,B ( -1,0 ) とし, y 軸との交点を C ( 0,2 ), 原点を O とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) この曲線の第 1 象限の部分に A ,C と異なる点 P を四角形 OAPC の面積が最大となるようにとる.このとき, P の座標とその最大値を求めよ.
(2) この曲線上に A ,B , C と異なる 2 点 E ,F を任意にとる.これら 5 点で作られる五角形の面積の最大値を求めよ.
2016-10081-0208
【5】 z ,w を相異なる複素数で z の虚部は正, w の虚部は負とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 1 ,z , -1 , w が複素数平面の同一円周上にあるための必要十分条件は
( 1+w) ⁢(1 -z) (1- w)⁢ (1+z )
が負の実数となることであることを示せ.
(2) z=x+ y⁢i が x <0 と y >0 を満たすとする. 1 ,z , -1 , 1 +z2 2 が複素数平面の同一円周上にあるとき,複素数 z の軌跡を求めよ.
2016-10081-0209
【6】 以下の問いに答えよ.
(1) n を正の整数として,次の定積分を求めよ.
∫ 02⁢ πx 2⁢cos ⁡n⁢x ⁢dx
(2) 次の積分値 I を最小にする実数 a の値と,その最小値を求めよ.
I= ∫0 2⁢π ( x2- a⁢cos⁡ 2⁢x) 2⁢d x