2016　宮城教育大学　前期MathJax

【１】　$A\text{，}B$は実数で$A^{11}=8\text{，}{B}^{13}=4$であるとする．整数$x\text{，}y$が$A^x\cdot B^y=2$を満たすとき，$|x+y|$の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が

$2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-3\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{0}$

を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OABC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　$k$を実数として$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$

$C_2\text{：}y=-x^2+4x+k$

を考える．点$\mathrm{P}(a,a^2)$における$C_1$の接線を$l$とする．$C_2$は$l$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$k\text{，}b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　$S(a)\text{，}T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(4)　$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　$2$つの数列$\{{\theta }_n\}\text{，}\{a_n\}$を漸化式

${\theta }_1={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}{\theta }_{n+1}={\displaystyle \frac{\pi -{\theta }_n}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}$

$a_1=\sqrt{2}\text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義するとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{{\theta }_n\}$の一般項を求めよ．また$0<{\theta }_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\cos {\theta }_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos {\theta }_n}{2}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　$2\cos {\theta }_n=a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．

【４】　実数$a$は$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．関数$f(x)=\sqrt{x}-a\log x$について次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．ただし$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}=0$となることを用いてよい．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(1,1)$における接線を$l$とする．曲線$y=f(x)$は$l$と垂直な接線をもつことを示せ．

【５】　点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$y=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$における放物線$y=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$の法線を$m$として，法線$m$と$x$軸とのなす角を$\theta (0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし，不等式$y>1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$の表す領域にあるとする．点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\theta }}d\theta \text{，}{\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^4\theta }}d\theta$を$t={\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sin \theta }}$と置換することにより求めよ．

(5)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　整数$x\text{，}y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．

(2)　整数$x\text{，}y$が次の$3$つの条件

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{7}}x+{\displaystyle \frac{\pi }{11}}y)=0\text{，}10<x<34\text{，}10<y<30$

を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．