2016　秋田大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　次の式で定義される数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=a_n+4n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の項を求めよ．

$\text{①}$　第$2$項から第$5$項まで

$\text{②}$　一般項$a_n$

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　次の値を求めよ．

$\text{①}$　${(1+x)}^{10}$の展開式における$x^7$の項の係数

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　次の値を求めよ．

$\text{②}$　${16}^{16}$を$225$で割ったときの余り

【２】　$f(x)=x^2-3x$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$-3\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　点$(3,-4)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．

(ⅲ)　放物線$y=f(x)$と(ⅱ)の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$f(x)={\log }_2(x+1)+{\log }_2(x-2)-2\text{，}g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$f(x)=0$を解け．

(ⅱ)　関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,0)$とする．このとき，曲線$y=g(x)\text{（}-1\leqq x\leqq a\text{）}$と$x$軸，および$2$直線$x=-1\text{，}x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^2+a-4,5)\text{，}\mathrm{B}(2a,3)\text{，}\mathrm{C}(a+1,2)$がある．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．

(ⅱ)　$a=0$のとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(ⅲ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．

【５】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする．$3$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,y_2)\text{，}\mathrm{R}$は$C$の周上にあり，$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4\angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を${\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}$直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を${\mathrm{R}}^{\prime }$とする．$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　点${\mathrm{Q}}^{\prime }$と点${\mathrm{R}}^{\prime }$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき，${\displaystyle \frac{{\mathrm{BR}}^{\prime }}{{\mathrm{BQ}}^{\prime }}}$の極限を求めよ．ただし，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$であることは用いてよい．

【６】　$i$を虚数単位とする．複素数$z$が等式$|iz+3|=|2z-6|$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この等式を満たす点$z$全体は，どのような図形を表すか答えよ．

(ⅱ)　$z-\bar{z}=0$を満たす$z$を求めよ．

(ⅲ)　$|z+i|$の最大値を求めよ．

【７】　袋$\mathrm{A}$には白玉$3$個，黒玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$3$個，黒玉$2$個が入っている．このとき，次の操作(＊)を行う．

(＊)$[\begin{array}{l}\text{はじめに袋}\mathrm{A}\text{から}1\text{個の玉を取り出して袋}\mathrm{B}\text{に入れ，そのあとよく}\\ \text{かき混ぜてから，袋}\mathrm{B}\text{から}1\text{個の玉を取り出して袋}\mathrm{A}\text{に入れる．}\end{array}$

次の問いに答えよ．

(ⅰ)　操作(＊)のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出すとき，それが白玉である確率を求めよ．

(ⅱ)　操作(＊)のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，袋$\mathrm{B}$の中の白玉が$2$個である確率を求めよ．

(ⅲ)　操作(＊)のあとで，$1$枚の硬貨を投げて，表が出たら袋$\mathrm{A}$にだけ白玉を$1$個いれ，裏が出たら袋$\mathrm{B}$にだけ白玉$1$個を入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，白玉が入れられたのは袋$\mathrm{A}$である確率を求めよ．

【８】　$b>0\text{，}a=2\sqrt{3}b$とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$\stackrel{\text{だ}}{\text{楕}}$円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$を$E$とする．楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,y)$の媒介変数表示は$x=a\cos \theta \text{，}y=b\sin \theta \text{（}0\leqq \theta <2\theta \text{）}$で与えられる．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}\geqq 0$の表す領域内にある円を$C$とする．円$C$の半径を$r(\theta )$とするとき，$C$の中心を$\theta$と$r(\theta )$を用いて表せ．

(ⅱ)　$2d=11b$とし，$4$つの頂点が$(d,d)\text{，}(-d,d)\text{，}(-d,-d)\text{，}(d,-d)$である正方形$F$を考える．点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき，(ⅰ)の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする．このとき，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，$C$の半径$r(\theta )$を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の$r(\theta )$の$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最大値は${\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}}b$であることを示せ．

志望別問題選択一覧

国際資源学部　【３】，【４】，【５】

教育文化（理数教育コース除く）学部　【１】，【２】，【４】

教育文化（理数教育コース）学部　【１】，【４】，【５】

医学部 　【６】，【７】，【８】

理工学部　【３】，【４】，【５】