2016　山形大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い，先に$3$勝したチームを優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}\mathrm{B}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$で，引き分けはないものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．

(2)　$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．

(3)　$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　放物線$C$上の点$(1,n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0\leqq a\leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．

(2)　関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1\leqq M\leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．

(3)　放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S\leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．

(4)　$n\geqq 7$とする．放物線$C$の$x\geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T\leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{AC}=2$とする．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+3n-3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)　$b_n=a_n+3n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対し，$a_n\ne 0$であることを示せ．

(4)　次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

$c_1=8\text{，}{c}_{n+1}={\displaystyle \frac{c_n}{n{c}_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(5)　次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

$d_1=-8\text{，}{d}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_{n+1}{d}_n}{n{d}_n+a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【５】　$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^n{e}^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t\text{，}x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=x{e}^{-x}$の極値を求めよ．

(2)　$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　関数$S_1(t)\text{（}t>0\text{）}$の最大値を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{d}{dt}}{S}_n(t)$を求めよ．

(5)　関数$S_n(t)\text{（}t>0\text{）}$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{t}_n$を求めよ．

【６】　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{W}(w)\text{，}Z(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり，

$\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\text{，}w=(1+\alpha )z+1+\bar{\alpha }$

とする．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}\text{，}\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．

(1)　$(1+\alpha )\beta +1+\bar{\alpha }=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．

(2)　$|z-\alpha |$の値を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．

【１】　$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,\sqrt{2})\text{，}$点$\mathrm{B}(0,-\sqrt{2})$がある．点$\mathrm{P}$は

$\mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2$

を満たすように$xy$平面上を動き，軌跡$C$をえがく．以下の問いに答えよ．

(1)　軌跡$C$の方程式を求め，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ．

(2)　軌跡$C$の方程式について，導関数${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を求めよ．

　$a$を実数とする．曲線$x^2+{(y-a)}^2=9$と軌跡$C$との共有点について，以下の問いに答えよ．

(3)　$a=4$のとき，共有点の個数を求めよ．

(4)　$a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ．

【２】

(1)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{1}{\sin x}}dx$

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\sin x}}dx$

(3)　(1)，(2)の結果を用いて次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{x}{\sin x}}dx$

(4)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e}}^1}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\log xdx$

(5)　次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)={\sin }^{2}x+2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\cos tdt$

【１】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^3-2k{x}^2+(k+3)x+5$が極値をもたないように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\cos 3x\cos x|dx$を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(3)　複素数$z$が$|z-2i|=2$を満たすとき，$|z-2\sqrt{3}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$z$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　すべての実数$x$に対して微分可能な関数$f(x)$が等式

$e^{-x}f(x)+{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}f(t)dt=1+e^{-2x}(3\sin x-\cos x)$

を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　$e^{-x}\sin x$の導関数を求めよ．さらに，$f(x)$を求めよ．

【３】　$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CD}=x\text{，}\mathrm{DA}=5-x\text{（}0<x<5\text{）}$を満たす四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \angle \mathrm{BAD}+\cos \angle \mathrm{BCD}=0$を示せ．

(2)　$\cos \angle \mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{26-5x}{3(10-x)}}$を示せ．

(3)　$S(x)$を求めよ．

(4)　$S(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【４】　$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2\text{，}\angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする$▵\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{EF}$を下ろし，$\mathrm{EF}=\mathrm{AF}=x\text{（}0<x\leqq 2\text{）}$とする．また，線分$\mathrm{AF}$の$\mathrm{F}$を越える延長上に$\mathrm{AG}=2\mathrm{AF}$となる点$\mathrm{G}$をとる．$\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{FG}$を$2$辺とする正方形$\mathrm{EFGH}$と$▵\mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$S(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S(x)$を求めよ．

(2)　$xy$平面において，連立不等式$0\leqq y\leqq S(x)\text{，}x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の表す領域$D$を考える．点$(1,1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$l$とする．

(ⅰ)　$D$の面積を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$の方程式を求めよ．