2016　福島大学　後期理工学群MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の方程式を解きなさい．

${(x^2-5x+5)}^2=1$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の関数を微分しなさい．

$y={\displaystyle \frac{1-x}{1+x^2}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$m\text{，}\sigma$を定数とする．次の関係式を満たす定数$a\text{，}b$を$m\text{，}\sigma$を用いて表しなさい．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{e}^{-\frac{{(x-m)}^2}{2{\sigma }^2}}dx={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\displaystyle {\int }_a^b}{e}^{-\frac{z^2}{2}}dz$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$2\sin x+\cos x=1$のとき，$\tan x$の値を求めなさい．

【２】　自然数$n$に対して，$a_n\text{，}{b}_n$は$a_n+b_n\sqrt{3}={(2+\sqrt{3})}^n$（$a_n\text{，}{b}_n$は自然数）を満たすものとする．このとき，すべての自然数$n$に対して${a_n}^2-3{b_n}^2=1$となり，有理数${\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$は$\sqrt{3}$の近似値になることが知られている．次の問いに答えなさい．

ただし，$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$が整数のとき，$p+q\sqrt{3}=r+s\sqrt{3}$であるならば，$p=r$かつ$q=s$であることを用いてよい．

(1)　${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}$と${\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$をそれぞれ$a_n$と$b_n$を用いて表しなさい．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n$がともに$2$けたの自然数である有理数${\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$をすべて求めなさい．

(4)　すべての自然数$n$に対して${\left({\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}\right)}^2>{\left({\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}}\right)}^2$であることを示しなさい．

【３】　自然対数の底$e$および円周率$\pi$は，$3$に対して，

${\displaystyle \frac{2}{8}}<3-e<{\displaystyle \frac{2}{7}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}<\pi -3<{\displaystyle \frac{1}{7}}$

という関係を満たす．これらを用いて$3^3$と$e^{\pi }$の大小を比較する．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{6}}$に対して，${\log }_e(1+x)\geqq {\displaystyle \frac{11}{12}}x$であることを示しなさい．ただし，${\log }_e\left({\displaystyle \frac{7}{6}}\right)>{\displaystyle \frac{11}{72}}$であることを用いてよい．

(2)　${\log }_{e}3=1+{\log }_e(1+x)$を満たす$x$を求めなさい．

(3)　(2)の解$x$が${\displaystyle \frac{1}{11}}<x<{\displaystyle \frac{2}{19}}$を満たすことを示しなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{25}{24}}<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<{\displaystyle \frac{22}{21}}$であることを用いて，${\log }_e>{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を示し，$3^3$と$e^{\pi }$の大小を比較しなさい．

【４】　点$\mathrm{F}(p,0)$を焦点とし，直線$x=-p$を準線$l$とする放物線$C\text{：}y=2\sqrt{px}$を考える．ただし，$p>0$とする．原点を除く放物線$C$上の任意の点$\mathrm{P}(s,t)$から準線$l$に垂線$\mathrm{PH}$を引く．さらに，$l^{\prime }$を放物線$C$の点$\mathrm{P}$における接線とし，接線$l^{\prime }$と線分$\mathrm{FH}$との交点を$\mathrm{M}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$t$を$s$の式で表しなさい．また，接線$l^{\prime }$の方程式を$s$の式で表しなさい．

(2)　直線$y=t$と接線$l^{\prime }$とのなす角を$\theta$とするとき，$\angle \mathrm{FPM}=\theta$となることを示しなさい．ただし，$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　点${\mathrm{F}}^{\prime }$の座標を$(-p,0)$とするとき，台形${\mathrm{FF}}^{\prime }\mathrm{HP}$の面積$S_1$を$s$の式で表しなさい．

(4)　$▵\mathrm{FHP}$の面積$S_2$を$s$の式で表しなさい．

(5)　(3)，(4)で求めた$S_1\text{，}{S}_2$に対して$\underset{s\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めなさい．