2016　茨城大学　後期MathJax

$p$：$a^2$は$m$の倍数である．

$q$：$a$は$m$の倍数である．

(1)　$m=7$とするとき，命題$p\Rightarrow q$が真であることを示せ．

(2)　$\sqrt{m}$を正の整数とするとき，命題$p\Rightarrow q$が偽であることを示せ．

(1)　曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線と直線$l\text{：}x=2a$および曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$の$x\geqq 2a$の部分と$x$軸および直線$l$で囲まれる部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1$と$S_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で定めた$S_1\text{，}{S}_2$について，$S_1=S_2$を満たすような定数$a$がただ一つ存在することを示せ．

(1)　$2$直線$l$と$l^{\prime }$は，ねじれの位置にあることを示せ．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．

(3)　$2$直線$l$と$l^{\prime }$の両方に直交する直線について，その$2$つの交点の距離を求めよ．

(1)　等式$f(x)=0$が$a$のどのような値に対しても成り立つように，$x$の値を定めよ．

(2)　$3$次方程式$f(x)=0$がただ$1$個の実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$3$次方程式$f(x)=0$がただ$1$個の実数解$p$と，異なる$2$つの虚数解$p_1+q_{1}i\text{，}{p}_2+q_{2}i$をもつとする．座標平面上で$3$点${\mathrm{P}}_0(p,0)\text{，}{\mathrm{P}}_1(p_1,q_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(p_2,q_2)$が正三角形の頂点となるような定数$a$の値を求めよ．ただし，$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_2$は実数，$i$は虚数単位とする．

$f(x)={\displaystyle {\int }_1^{1+x}}{\displaystyle \frac{1}{t^2(t+1)}}dt$

により定める．以下の各問に答えよ．

(1)　$t>0$のとき不等式

${\displaystyle \frac{1}{t^2(t+1)}}={\displaystyle \frac{A}{t^2}}+{\displaystyle \frac{B}{t}}+{\displaystyle \frac{C}{t+1}}$

が成立するように定数$A\text{，}B\text{，}C$を定めよ．

(2)　$f(1)$および$f^{\prime }(1)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における法線と$y$軸との交点の座標を求めよ．

(4)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,0)\text{，}$

$\mathrm{D}(0,0,1)\text{，}\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}\mathrm{F}(1,1,1)\text{，}\mathrm{G}(0,1,1)$

を頂点とする立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$がある．$t$は$1\leqq t<2$を満たすとする．$3$点$\mathrm{P}(t,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,t,0)\text{，}\mathrm{R}(0,0,2-t)$を通る平面により，この立方体を切ったときの切り口の多角形の周の長さを$l(t)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$l(1)$を求めよ．

(2)　$1<t<2$のとき，$l(t)$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{t\to 2-0}{\lim }l(t)$を求めよ．

(4)　$t$が$1<t<2$の範囲を動くとき，$l(t)$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．

(1)　以下の(a)，(b)の准に従って$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=0$を証明せよ．

(a)　不等式$0>t\log t\geqq -e^{-1}\text{（}0<t\leqq e^{-1}\text{）}$を証明せよ．

(b)　$f(x)$に$x=t^4\text{（}t>0\text{）}$を代入し，前問(a)の不等式を用いることにより$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=0$を証明せよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

(3)　曲線$y=f(x)\text{（}{e}^{-1}\leqq x\leqq e\text{）}$と$x$軸および$2$直線$x=e^{-1}\text{，}x=e$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

このとき，取り出される玉が$n$回とも赤玉である確率を$A_N(n)\text{，}n$回とも白玉である確率を$S_N(n)\text{，}n$回とも黒玉である確率を$K_N(n)$とする．ただし，どの箱を選ぶ確率も等しく，また，箱の中から，どの玉を取り出す確率も等しいとする．以下の各問に答えよ．

(1)　$A_n(1)\text{，}{S}_N(1)\text{，}{K}_N(1)$をそれぞれ求めよ．

(2)　$A_N(2)\text{，}{S}_N(2)\text{，}{K}_N(2)$をそれぞれ求めよ．

(3)　極限値$\underset{N\to \infty }{\lim }{A}_N(2)\text{，}\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(2)\text{，}\underset{N\to \infty }{\lim }{K}_N(2)$をそれぞれ求めよ．

(4)　一般の自然数$n$について，極限値$\underset{N\to \infty }{\lim }{A}_N(n)$を求めよ．

　$4$枚の硬貨を同時に$1$回投げて表が$4$枚または$3$枚出れば時計回りに隣の点に移る．表が$2$枚出れば点は移動せずにとどまる．これら以外の場合には，反時計回りに隣の点に移る．

　点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$から移動し始めるものとし，$4$枚の硬貨を同時に$1$回投げる試行を$n$回繰り返した後，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．

　次の文章の$\boxed{}$にあてはまる数を解答用紙の指定の欄に記入せよ．

　$a_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を用いて表すと，

$a_{n+1}=\boxed{\text{(い)}}{a}_n+\boxed{\text{(ろ)}}{b}_n+\boxed{\text{(は)}}{c}_n+\boxed{\text{(に)}}{d}_n$

である．$a_{n+1}+c_{n+1}$を$a_n+c_n$を用いて表すと，

$a_{n+1}+c_{n+1}=\boxed{\text{(ほ)}}(a_n+c_n)+\boxed{\text{(へ)}}$

である．また，$a_{n+1}-c_{n+1}$を$a_n-c_n$を用いて表すと，

$a_{n+1}-c_{n+1}=\boxed{\text{(と)}}(a_n-c_n)+\boxed{\text{(ち)}}$

である．したがって，$a_n$を$n$の式で表すと，

$a_n=\boxed{\text{(り)}}+\boxed{\text{(ぬ)}}{(\boxed{\text{(る)}})}^n+\boxed{\text{(を)}}{(\boxed{\text{(わ)}})}^n$

である．ただし，$\boxed{\text{(ぬ)}}\text{，}\boxed{\text{(を)}}$にあてはまる数は大小関係$\boxed{\text{(ぬ)}}<\boxed{\text{(を)}}$を満たす．