2016　筑波大学　前期MathJax

【１】　$k$を実数とする．$xy$平面の曲線$C_1\text{：}y=x^2$と$C_2\text{：}y=-x^2+2kx+1-k^2$が異なる共有点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を持つとする．ただし点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標は正であるとする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$k$が(1)の範囲を動くとき，$▵\mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S^2$を$k$を用いて表せ．

(4)　$k$が(1)の範囲を動くとする．$▵\mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と，そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

【２】　$xy$平面の直線$y=(\tan 2\theta )x$を$l$とする．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．図で示すように，円$C_1\text{，}{C}_2$を以下の(ⅰ)〜(ⅳ)で定める．

(ⅰ)　円$C_1$は直線$l$および$x$軸の正の部分と接する．

(ⅱ)　円$C_1$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である．

(ⅲ)　円$C_2$は直線$l\text{，}x$軸の正の部分，および円$C_1$と接する．

(ⅳ)　円$C_2$の中心は第$1$象限にあり，原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす．

円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち，$x$軸，直線$l$と異なる直線を$m$とし，直線$m$と直線$l\text{，}x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

(1)　円$C_1\text{，}{C}_2$の半径を$\sin \theta \text{，}\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

(3)　(2)の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき等式

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=1$

が成り立つとする．$t$は実数の定数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする．このとき，$▵\mathrm{OAB}$と$▵\mathrm{OCB}$は合同であることを示せ．

【４】　関数$f(x)=2\sqrt{x}{e}^{-x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$について次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(a)=0\text{，}{f}^{″}(b)=0$を満たす$a\text{，}b$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x}{e}^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい．

(2)　$k\geqq 0$のとき$V(k)={\displaystyle {\int }_0^k}x{e}^{-2x}dx$を$k$を用いて表せ．

(3)　(1)で求めた$a\text{，}b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【５】　$▵\mathrm{PQR}$において$\angle \mathrm{RPQ}=\theta \text{，}\angle \mathrm{PQR}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次で定める．

${\mathrm{P}}_1=\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}_2=\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+2}={\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$

ただし，点${\mathrm{P}}_{n+2}$は線分${\mathrm{P}}_n\mathrm{R}$上にあるものとする．実数${\theta }_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を

${\theta }_n=\angle {\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+2}\text{（}0<{\theta }_n<\pi \text{）}$

で定める．

(1)　${\theta }_2\text{，}{\theta }_3$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　${\theta }_{n+1}+{\displaystyle \frac{{\theta }_2}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は$n$によらない定数であることを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\theta }_n$を求めよ．

【６】　複素数平面上を動く点$z$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ．

(2)　点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{z+1}{z}}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる．この図形を描け．

(3)　$a$を正の実数とする．点$z$が虚軸上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{z+1}{z-a}}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる．この円の中心と半径を求めよ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【２】から１題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学III選択者　【４】か【５】か【６】から2題選択

人間学群

　教育学類，心理学類 　【１】，【２】，【３】必須，【４】，【５】，【６】から1題選択

障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　　数学III選択者　【４】〜【６】から2題選択

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類，地球学類　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【６】必須

理工学群

　数学類，物理学類，化学類，応用理工学類，工学システム学類，社会工学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【６】必須

情報学群

　情報科学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【５】必須

　情報メディア創成学類

　　　【１】，【２】から1題選択，【３】〜【６】必須

　知識情報・図書館学類

　　選択１　【２】〜【６】から2題選択

　　選択２　【１】，【３】〜【６】から2題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から2題選択