2016　筑波大学　後期理工学群MathJax

【１】　$x\geqq 0$で定義された関数$f(x)=e^{-x}|\sin x|$と$g(x)=e^{-x}\cos x$を考える．$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)　$S_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}f(x)dx\text{，}{T}_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}g(x)dx$とおくとき，$n$が奇数と偶数の場合について，それぞれ$S_n$と$T_n$を求めよ．

(2)　(1)の結果を利用して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}f(x)dx$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}g(x)dx$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=2x-x^2$を用いて，次のように定めた数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を考える．

$0<a_1<1\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{1-a_{n+1}}{1-a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対し，$0<a_n<1$が成り立つことを数学的帰納法により示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対し，$a_n<a_{n+1}$が成り立つことを示せ．

(3)　$0<b_1<1$が成り立つことを示せ．

(4)　すべての自然数$n$に対し，$b_n>b_{n+1}$が成り立つことを示せ．

(5)　すべての自然数$n$に対し，$1-a_{n+1}\leqq b_1(1-a_n)$が成り立つことを示せ．

(6)　$\{a_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とする．複素数平面上で$\bar{z}=2|z-2a|-z$を満たす点$z$全体の表す図形を$C$とする．ただし，$i$は虚数単位であり，$\bar{z}$は$z$の複素共役である．以下の問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{，}y$を用いて$z=x+yi$と表すとき，$C$の方程式を$x\text{，}y$および$a$を用いて表せ．

(2)　$p$を実数とし，$p>a$とする．複素数平面上で$|z+a|=|z-p|$を満たす点$z$全体の表す図形を$D$とする．$C$と$D$が一つだけ共有点を有し，その点で接するとき，$p$を$a$を用いて表せ．

(3)　$p$を(2)で定めた値とする．点$p$を中心とし，$D$と接する円を$E$とする．次に，$E$上の点$z$を$w={\displaystyle \frac{10i}{z}}$に代入して得られる点$w$全体の表す図形を$F$とする．$F$と$D$が一つだけ共有点を有し，その点で接するとき，$a$の値を求め，$F$の方程式を求めよ．

(4)　$p$と$a$を，(2)と(3)で定めた値とする．点$w$が$F$上を動くとき，点$p$と点$w$を結ぶ線分の中点$w^{\prime }$はどのような図形を描くか．