2016　筑波大学　推薦理工学群応用理工学類MathJax

【問題２　問１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^2}|\log x|dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}}{\tan }^{3}xdx$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x-1}{x_3+1}}dx$（被積分関数を${\displaystyle \frac{a}{x+1}}+{\displaystyle \frac{bx+c}{x^2-x+1}}$の形に変形するとよい）

【問題２　問２】　座標平面上において，曲線$C_1\text{：}y=a{x}^n$（$a$は実数および$n$は自然数）と曲線$C_2\text{：}y=\log x$について考える．自然対数の底を$e$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$とが，共通の接線をある共有点において持つとする．このとき，$a$およびこの接線$l_1$の式を，$n$を用いて表せ．

(2)　(1)の条件のとき，接線$l_1$と直交し，かつ曲線$C_3\text{：}y=-e^x$と接する直線を$l_2$とする．$l_2$と$x$軸との交点が$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$であるとき，$n$を求めよ．

【問題３　問１】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(3,0,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,4,5)\text{，}\mathrm{C}(3,4,0)$が与えられている．$▵\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{C}$から対辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【問題３　問２】　$\underset{x\to -0}{\lim }(\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{a}{x}}+2}+{\displaystyle \frac{b}{x}})=1$が成り立つように，定数$a\text{，}b$の値を定めよ．

【問題３　問３】　$n$を$3$以上の奇数として，複素数$z$が次の方程式を満たすとき，以下の問いに答えよ．

$z^{n-1}-z^{n-2}+z^{n-3}-\cdots +z^2-z+1={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{(-z)}^k=0\cdots \text{①}$

(1)　$z^n$の値を求めよ．

(2)　方程式$\text{①}$を解け．