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2016 宇都宮大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  p q を正の整数とする.数字 0 の書かれた p 枚のカードと,数字 1 の書かれた q 枚のカードを横一列に並べて得られる 0 1 からなる ( p+q ) 個の数字の列を考える.このような列 X に対して, 1i< jp+ q かつ,左から i 番目のカードの数字が 1 であり,左から j 番目のカードの数字が 0 であるような正の整数の対 ( i,j ) の個数を f (X ) とおく.このとき,次の問いに答えよ.

問1  p=3 q=1 X=( 1,0, 0,0 ) のとき, f( X) を求めよ.

問2  p=2 q=2 のとき,得られる列 X をすべて求め,そのときの f (X ) の値を求めよ.

問3  f( X) の最大値を p q を用いて表せ.

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易□ 並□ 難□

【2】 平面上に OA =4 AB= 9 OB =7 となるような OAB があり, AOB の二等分線と辺 AB の交点を C とする.このとき,次の問いに答えよ.

問1 内積 OA OB の値を求めよ.

問2  OC k OA +OB が平行になるような実数 k を求めよ.

問3 問2の結果を用いて, OC OA OB を用いて表せ.

問4  |OC | の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 初項 a 公差 d の等差数列 an=a +(n -1) d n=1 2 3 について,次の問いに答えよ.

問1  Sn= k=1 na k とおく. S7 S 11 を,それぞれ a d の式で表せ.

問2  Tn = k= 1n ( ak) 2 とおく. T11 a d の式で表せ.

問3  S7 =0 かつ ( S11 )2 -T11 =440 のとき, a d の値を求めよ.

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【4】  a 0 <a<1 である実数とする.座標平面において,直線 y =a x 軸および 2 直線 x =a x= 1 で囲まれた部分を D 1 とし,曲線 y =( x-1) 2+1 と直線 y =a および 2 直線 x =0 x =a で囲まれた部分を D 2 とする.このとき,次の問いに答えよ.

問1 座標平面に D 1 D 2 を図示せよ.

問2  D1 の面積 S 1 a の式で表せ.

問3  D2 の面積 S 2 a の式で表せ.

問4  S=S 1+S 2 とするとき, S を最大にする a の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【5】 座標平面上の曲線 y2-2 x-2 =0 と直線 x +y= 12 で囲まれた図形を D とする.このとき,次の問いに答えよ.

問1 座標平面に D を図示せよ.

問2  D の面積を求めよ.

問3 点 P ( x,y ) D の内部および境界線上を動くとき, 3x+ 2y の値がとりうる範囲を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【6】 座標平面上の曲線 C y=sin πx ( 0<x< 12 ) の上に点 P ( a,sin πa ) をとる.点 P における C の接線と法線をそれぞれ l m とする. l y 軸の交点を Q ( 0,q ) m x 軸の交点を R ( r,0 ) とし,点 P から y 軸に下ろした垂線の足を H とする.このとき,次の問いに答えよ.

問1 接線 l の方程式を求め, q a を用いて表せ.

問2 法線 m の方程式を求め, r a を用いて表せ.

問3 曲線 C 直線 m および x 軸によって囲まれる部分の面積を S (a ) とする. S( a) a を用いて表せ.

問4  PQH の面積を T (a ) とする.極限値 lima 0 S( a) T( a) を求めよ.

志望別問題選択一覧

地域デザイン科(コミュニティデザイン学科),教育(学校教育・特別支援教育系,教科文系,教科理系)学部 【1】,【2】,【3】,【4】

地域デザイン科(建築都市デザイン,社会基盤デザイン学科)学部 【1】,【2】,【3】,【5】,【6】

工(機械システム工,電気電子工,情報工学科)学部 【1】,【2】,【3】,【5】,【6】

農(生物資源科,農業環境工,農業経済,森林科学科)学部 【1】,【2】,【3】,【4】,【6】

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