2016　群馬大学　前期MathJax

【１】　$a>0$とする．関数$f(x)=2x^2-4\left|x\right|+a$と$g(x)=\left|x\right|-a$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a=1$のときの$2$つの関数のグラフをかけ．

(2)　$2$つの関数のグラフが$2$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．

(3)　$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき，それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$0<\theta <\pi$とする．単位円の周上の$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{C}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　定数$a$は$0<a<1$とし，また$n$は正の整数とする．

$R_n=n{\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{{(a-x)}^{n-1}}{{(1-x)}^{n+1}}}dx$

とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$n=1$のときは${(a-x)}^{n-1}=1$とする．

(1)　$R_1$と$R_2$を求めよ．

(2)　$R_n$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{R}_n$の和を求めよ．

【４】　袋の中に白と黒の石がそれぞれ$4$個ずつ入っている．まず$\mathrm{A}$君が袋の中から$3$個の石を同時に取り出し，新たに白の石$2$個と黒の石$1$個を袋に入れる．次に$\mathrm{B}$君が袋の中から$3$個の石を同時に取り出し，新たに白の石$1$個と黒の石$2$個を袋に入れる．

(1)　上記の試行において，$\mathrm{A}$君が$1$個の白の石と$2$個の黒の石を同時に取り出す確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君による上記の試行の後に袋の中にある石について，白の石と黒の石が同数になる確率を求めよ．

【５】　$▵\mathrm{OAB}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{AB}=4$とする．$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$上の点で線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$が垂直になるものとする．また，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．

(4)　$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ．

【２】　整式$f(x)$を$3$次式とする．$f(x)+2x+2$が${(x-1)}^2$で割り切れ，$f(x)-2x-2$が${(x+1)}^2$で割り切れるとき，$f(x)$を求めよ．

【３】　$0<\theta <\pi$とする．単位円の周上の$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{C}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

【４】　さいころ$\mathrm{A}$を投げるときに出る目の数を$a\text{，}$さいころ$\mathrm{B}$を投げるときに出る目の数を$b$とする．また，$1$枚の硬貨を投げて表が出るときは$k=1\text{，}$裏が出るときは$k=-1$とする．$2$個のさいころ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と$1$枚の硬貨を同時に投げて，放物線の方程式$y=k{x}^2+ax-b$の係数$k\text{，}a\text{，}b$を$1$組決める．このとき，次の確率を求めよ．

(1)　放物線が点$(1,1)$を通る確率．

(2)　放物線が$2$点$(1,1)\text{，}(2,3)$を通る確率．

【２】　次の$6$つの数

${(\sqrt{10}-\sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}\text{，}{\log }_{\sqrt{3}}{\displaystyle \frac{7}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{7}{9}}\text{，}{\log }_{7}5\text{，}{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{6}12}}\text{，}{\log }_{(\sqrt{15}-\sqrt{10})}12$

について答えよ．

(1)　$6$つの数のうち負の数はどれか，すべて答えよ．

(2)　$6$つの数のうち$1$以上の数はどれか，すべて答えよ．

(3)　$6$つの数のうち，(1)と(2)以外の数を左から小さい順に並べよ．

【３】　複素数平面の点$\mathrm{A}(1)$を中心とし，原点を通る円を$C$とする．また，$\mathrm{P}(z)\text{，}\mathrm{Q}(w)$を円$C$上を動く点とし，$0<\arg z<\arg w<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．さらに，$R={\displaystyle \frac{z(w-2)}{w(z-2)}}$とおく．

(1)　$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ．

(2)　$\angle \mathrm{PAQ}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のときの$R$の最小値を求めよ．

【５】　袋の中に白と黒の石がそれぞれ$6$個ずつ入っている．まず$\mathrm{A}$君が袋の中から$3$個の石を同時に取り出し，新たに白の石$2$個と黒の石$1$個を袋に入れる．次に$\mathrm{B}$君が袋の中から$3$個の石を同時に取り出し，新たに白の石$1$個と黒の石$2$個を袋に入れる．

(1)　上記の試行において，$\mathrm{A}$君が$1$個の白の石と$2$個の黒の石を同時に取り出す確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君による上記の試行の後に袋の中にある石について，白の石と黒の石が同数になる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君による上記の試行の後に袋の中にある石について，白の石が黒の石より多くなる確率を求めよ．