2016　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】　$a$を実数とする．$x$の方程式

${\log }_2(x-3)={\log }_4(2x-a)$

が異なる$2$つの実数解をもつための$a$の条件を求めなさい．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$および$d$は実数で，$a>0\text{，}b<0\text{，}d\ne 0$とする．また

$f(x)=ax+b\text{，}g(x)=x^2+cx+d$

とおく．$xyz$空間内に$3$点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$があり，点$\mathrm{O}$は原点を表す．点${\mathrm{P}}_0(-4,0,4\sqrt{3})$は定点で，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点${\mathrm{P}}_1(-t,f(t),2\sqrt{3})\text{，}{\mathrm{P}}_2(t,g(t),0)$である．この$3$点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$が次の$3$条件をみたしているとき，定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値をすべて求めなさい．

(1)　$t=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である．

(3)　点$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$は，$t=1$および$t=-3$のとき，それぞれ同一平面上にある．

【３】　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q\text{，}r$は実数とする．$3$次方程式$x^3+p{x}^2+qx+r=0$の$3$つの解が

${(2a+1)}^2+(a-b)i\text{，}{(2a+1)}^2+(a^2+b+1)i\text{，}{(2a+1)}^2+(a^2+b-1)i$

であるとき，$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めなさい．ただし，$i=\sqrt{-1}$である．

【４】　$2$次関数$f(x)$に対して，関数$F(x)$を

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．