2016　埼玉大学　前期（理，工学部）MathJax

(1)　$a\text{，}b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．

(2)　$a\text{，}b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．

(3)　$a\text{，}b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．

(4)　$ab\text{，}a+b$がともに偶数ならば，$a\text{，}b$はどちらも偶数であることを示せ．

(5)　$abc\text{，}ab+bc+ca\text{，}a+b+c$がすべて偶数ならば，$a\text{，}b\text{，}c$はすべて偶数であることを示せ．

(1)　$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定め，数列$\{b_n\}$を

$b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{b}_{n+1}=g(b_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．

(ア)　$b_n=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを数学的帰納法を用いて表せ．

(イ)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(ウ)　$\underset{n\to }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x^2+3x+1}}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．

(2)　$a>0$とする．曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$と$2$つの直線$l_1\text{：}y=2e^{a}x\text{，}{l}_2\text{：}y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$l_1$と$l_2$で囲まれる部分を$D$とする．

(ア)　$C$と$l_1$の交点，および，$C$と$l_2$の交点の座標を求めよ．

(イ)　(1)を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182\cdots$であることは用いてよい．

(ウ)　$D$の面積を$a$を用いて表せ．

(エ)　$D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$を満たす$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を求めよ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$を求めよ．

(5)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．