2016　埼玉大学　後期（理，工学部）MathJax

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}S$

を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{O}$と$\mathrm{M}$を結ぶ線分$\mathrm{OM}$の長さを求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線を$l$とし，点$\mathrm{A}$から$l$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$の増減，凹凸を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$であることは用いてよい．

(2)　正の実数$a\text{，}b$に対して，$a^b=b^a$が成り立つことと，${\displaystyle \frac{\log a}{a}}={\displaystyle \frac{\log b}{b}}$が成り立つことは同値であることを示せ．

(3)　$x^2=2^x$を満たす正の実数$x$は$2\text{，}4$のみであることを示せ．

(4)　$2\leqq x\leqq 4$の範囲において，$2$つの曲線$y=x^2\text{，}y=2^x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(1)　$C$の頂点から異なる$2$個の頂点を選ぶ選び方は何通りあるか求めよ．

(2)　$C$の頂点から異なる$2$個の頂点を選ぶとき，その$2$点を結ぶ線分が立方体$C$の辺となる確率を求めよ．

(3)　$C$の頂点から異なる$3$個の頂点を選ぶとき，その$3$点を頂点とする三角形が直角三角形となる確率を求めよ．

(4)　$C$の頂点から異なる$4$個の頂点を選ぶとき，その$4$点が体積${\displaystyle \frac{1}{3}}$の四面体の頂点となる選び方は何通りあるか求めよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$a$に対して，

$f(x)=a^2+\cos (a+x)+x$

とおく．$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$f(x)>0$となることを示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，関数

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{2t-\sin (t++x)}{t^2+\cos (t+x)+x}}dt$

を考える．

(ア)　$g(x)$を求めよ．

(イ)　$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(ウ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$g(x)$はただ$1$つの極小値をもつことを示せ．