2016　千葉大学　前期MathJax

【１】　$1$個のさいころを$2$回投げ，最初に出た目を$a\text{，}2$回目に出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2-ax+b=0$について，次の問いに答えよ．

(1)　実数解は存在すれば正であることを示せ．

(2)　実数解の個数が$1$となる確率を求めよ．

(3)　実数解の個数が$2$となる確率を求めよ．

【２】　座標平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(5,0)\text{，}\mathrm{B}(0,11)\text{，}\mathrm{P}(m,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,n)$をとる．ただし，$m$と$n$は$1\leqq m\leqq 5\text{，}1\leqq n\leqq 11$を満たす整数とする．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数を求めよ．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数でる点のことであり，内部には辺上の点は含まれない．

(2)　三角形$\mathrm{OPQ}$の内部に含まれる格子点の個数が三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数の半分になるような組$(m,n)$をすべて求めよ．

【３】　座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1)\text{，}\mathrm{D}(1,0)\text{，}\mathrm{E}(0,{\displaystyle \frac{2}{3}})$がある．点$\mathrm{E}$と点${\mathrm{P}}_1(s,1)\text{（}0<s<1\text{）}$を通る直線を$l_1$とする．直線$y=1$に関して$l_1$と対称な直線を$l_2$とし，$l_2$と直線$x=1$の交点を${\mathrm{P}}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$l_2$と対称な直線$l_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を${\mathrm{P}}_3$とする．

(1)　直線$l_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{D}{\mathrm{P}}_3$の長さを$s$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{E}{\mathrm{P}}_1+{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2+{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$の範囲で，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-x^2+2$上を動き，点$\mathrm{Q}$は放物線$y=x^2-2$上を動く．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる点とする．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$が原点を通るとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

【５】　座標平面上にすべての内角が$180\mathrm{°}$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$k$は$0\leqq k\leqq 1$を満たす定数とする．$0$以上の実数$s\text{，}t\text{，}u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}+u\overrightarrow{d}$

で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする．

(1)　$E(1)$および$E(0)$を求めよ．

(2)　$E\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$を求めよ．

(3)　対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする．どの$E(k)({\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}})$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える．このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を，線分$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ．

【６】　$a$は$0<a<2$を満たす定数とする．$0\leqq t\leqq 1$を満たす実数$t$に対して，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,0)\text{，}\mathrm{B}(2,t^2)\text{，}\mathrm{C}(2-t,2)\text{，}\mathrm{D}(0,2-at)$を考える．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ．

【７】　数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，

・出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．

・出た目が$2\text{，}3$ならば$x=a+1$へ動く．

・出た目が$4\text{，}5\text{，}6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．

(1)　整数$a\geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．

(2)　さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．

(3)　さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

【８】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x>0$において，不等式$\log x<x$を示せ．

(2)　$1<a<b$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{1}{\log a}}-{\displaystyle \frac{1}{\log b}}<{\displaystyle \frac{b-a}{a{(\log a)}^2}}$

を示せ．

(3)　$x\geqq e$において，不等式

${\displaystyle {\int }_e^x}{\displaystyle \frac{dt}{t\log (t+1)}}\geqq \log (\log x)+{\displaystyle \frac{1}{2{(\log x)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【９】　$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$（$i$は虚数単位）とおく．

(1)　$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．

(2)　$\alpha =z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha +\bar{\alpha }\text{，}\alpha \bar{\alpha }$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役複素数である．

(3)　$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．

【10】　$2$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く．点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と，点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　正の実数$a$に対して，$C$と$x$軸と$2$直線$x=a\text{，}x=-a$によって囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }V(a)$を求めよ．

【11】　曲線$C\text{：}y=\sin x$上を点$\mathrm{P}(t,\sin t)(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が動く．正の実数$r$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする．

(1)　$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．

【12】　$p$を$2$でない素数とし，自然数$m\text{，}n$は

$(m+n\sqrt{p})(m-n\sqrt{p})=1$

を満たすとする．

(1)　互いに素な自然数の組$(x,y)$で

$m+n\sqrt{p}={\displaystyle \frac{x+y\sqrt{p}}{x-y\sqrt{p}}}$

を満たすものが存在することを示せ．

(2)　$x$は(1)の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部(小学・特別支援・幼稚園)，中学(技術))　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　文学部(人文学科)，法経学部，国際教養学部，園芸学部，

　　【１】，【３】，【５】，【６】

教育学部(中学(数学))　【２】，【３】，【４】，【５】， 【６】，【７】

数学I数学II数学III数学A数学B

理学部(物理，化学，生物，地球科学科)，薬学部，工学部

　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】

医学部【５】，【７】，【９】，【11】，【12】

理学部（数学・情報数理学科）　【５】，【７】， 【９】，【10】，【11】，【12】