2016　千葉大学　先進科学プログラム方式IMathJax

【１】　次の(1)〜(3)の方程式を$x$について解きなさい．

(1)　$x^3+2x^2-5x-6=0$

(2)　$\cos 2x+9\cos x-4=0$（ただし$0\leqq x<\pi$）

(3)　${\log }_2(x-2)+{\log }_2(x+1)=2$

【２】　曲線$y=\cos x(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$x$軸とで囲まれた図形が，$x$軸の周りに回転してできる立体の体積$V$の値を求めなさい．

【３】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CD}=3\text{，}\mathrm{DA}=3$である．今，$\angle \mathrm{A}=\theta$とするとき，次の(1)，(2)の値を求めなさい．

(1)　$\cos \theta$

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$

【４】　$\overrightarrow{a}=(3,4)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,1)$とする．$t$を実数として，$t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$で表される直線について考える．次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　この直線に垂直で大きさ$1$のベクトルを求めなさい．複数ある場合には，$x$成分が正のもののみを示しなさい．

(2)　原点$(0,0)$からこの直線への距離を求めなさい．

【５】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1$

$a_{n+1}+a_n=3n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{2k-1}\text{，}{a}_{2k}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めなさい．

(2)　$\{a_n\}$の初項から$n$項までの和$S_n$を求めなさい．

【６】　複素数平面上で点$z$が原点を中心とした$\left|z\right|=1$の円周上を動く時，$w={\displaystyle \frac{6z-1}{2z-1}}$が表す点$w$はどのような図形を描くか求めなさい．