2016　東京大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の$3$点$\mathrm{P}(x,y)\text{，}\mathrm{Q}(-x,-y)\text{，}\mathrm{R}(1,0)$が鋭角三角形をなすための$(x,y)$についての条件を求めよ．また，その条件をみたす点$\mathrm{P}(x,y)$の範囲を図示せよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．

(a)　$1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．

(b)　$2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．

(c)　$k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．

なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$で，引き分けはないものとする．

(1)　ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

(2)　$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

(3)　$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

【３】　座標平面上の$2$つの放物線

$A\text{：}y=x^2$

$B\text{：}y=-x^2+px+q$

が点$(-1,1)$で接している．ここで，$p$と$q$は実数である．さらに，$t$を正の実数とし，放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t\text{，}y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする．

(1)　$p$と$q$の値を求めよ．

(2)　放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする．ただし，$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める．$S(t)$を求めよ．

(3)　$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．ただし，(1)については，結論のみを書けばよい．

(1)　$n$を正の整数とし，$3^n$を$10$で割った余りを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とし，$3^n$を$4$で割った余りを$b_n$とする．$b_n$を求めよ．

(3)　数列$\{x_n\}$を次のように定める．

$x_1=1\text{，}{x}_{n+1}=3^{x_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$x_{10}$を$10$で割った余りを求めよ．

【１】　$e$を自然数の底，すなわち$e=\underset{t\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{t}})}^t$とする．すべての正の実数$x$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．

${(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x\leqq e\leqq {(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{x+\frac{1}{2}}$

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．

(a)　$1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．

(b)　$2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．

(c)　$k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．

なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$で，引き分けはないものとする．

(1)　$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

(2)　$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．

【３】　$a$を$1<a<3$をみたす実数とし，座標空間内の$4$点${\mathrm{P}}_1(1,0,1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(1,1,1)\text{，}{\mathrm{P}}_3(1,0,3)\text{，}\mathrm{Q}(0,0,a)$を考える．直線${\mathrm{P}}_1\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{P}}_2\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{P}}_2\mathrm{Q}$と$xy$平面の交点をそれぞれ${\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{R}}_2\text{，}{\mathrm{R}}_3$として，三角形${\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2{\mathrm{R}}_3$の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を最小にする$a$と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

【４】　$z$を複素数とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(1)\text{，}\mathrm{B}(z)\text{，}\mathrm{C}(z^2)$が鋭角三角形をなすような$z$の範囲を求め，図示せよ．

【５】　$k$を正の整数とし，$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数

$0.a_1{a}_2\cdots a_k={\displaystyle \frac{a_1}{10}}+{\displaystyle \frac{a_2}{{10}^2}}+\cdots {\displaystyle \frac{a_k}{{10}^k}}$

を$1$つとる．ここで，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k\ne 0$とする．

(1)　次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．

$0,a_1{a}_2\cdots a_k\leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1{a}_2\cdots a_k+{10}^{-k}$

(2)　$p$が$5\cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．

$0.a_1{a}_2\cdots a_k\le \sqrt{m}-p<0.a_1{a}_2\cdots a_k+{10}^{-k}$

(3)　実数$x$に対し，$r\leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1{a}_2\cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．

【６】　座標空間内を，長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$が次の$2$条件(a)，(b)をみたしながら動く．

(a)　点$\mathrm{A}$は平面$z=0$上にある．

(b)　点$\mathrm{C}(0,0,1)$が線分$\mathrm{AB}$上にある．

このとき，線分$\mathrm{AB}$が通過することのできる範囲を$K$とする．$K$と不等式$z\geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ．