2016　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　自然数$n$に対して，$n$のすべての正の約数（$1$と$n$を含む）の和を$S(n)$とおく．例えば，$S(9)=1+3+9=13$である．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^{2}q$と表されるとき，$S(n)=2n$を満たす$n$をすべて求めよ．

(2)　$a$を自然数とする．$n=2^a-1$が$S(n)=n+1$を満たすとき，$a$は素数であることを示せ．

(3)　$a$を$2$以上の自然数とする．$n=2^{a-1}(2^a-1)$が$S(n)\leqq 2n$を満たすとき，$n$の$1$の位は$6$か$8$であることを示せ．

【２】　$xyz$空間において連立不等式

$\left|x\right|\leqq 1\text{，}\left|y\right|\leqq 1\text{，}\left|z\right|\leqq 1$

の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2\leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに

$x\geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$

$y\geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$

$z\geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし，

$S_x\ne \varnothing$を満たす$r$の最小値を$r_1$

$S_x\cap S_y\ne \varnothing$を満たす$r$の最小値を$r_2$

$S_x\cup S_y\cup S_z\ne \varnothing$を満たす$r$の最小値を$r_2$

とする．ただし，$\varnothing$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$r={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．

(2)　$r_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3$および$V(r_1)\text{，}V(r_3)$を求めよ．

(3)　$r\geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．

(4)　$0<r\leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=⟪x⟫-2⟪x-1⟫+⟪x-2⟫$を考える．ここで，実数$u$に対して$⟪u⟫={\displaystyle \frac{u+\left|u\right|}{2}}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$g(x)={\displaystyle {\int }_0^1}f(x-t)dt$とおくとき，$g(x)$の最大値を求めよ．

(3)　(2)の$g(x)$に対して，$p(s)={\displaystyle {\int }_0^3}{(x-s)}^{2}g(x)dx$とおくとき，$p(s)$の最小値を求めよ．

【１】　自然数$n$に対して，$n$のすべての正の約数（$1$と$n$を含む）の和を$S(n)$とおく．例えば，$S(9)=1+3+9=13$である．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n)=24$を満たす$n$をすべて求めよ．

(2)　$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=pq$と表されるとき，$S(n)\geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．

(3)　$n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^{2}q$と表されるとき，$S(n)\geqq 2n$を満たす$n$をすべて求めよ．

【３】　座標平面において，実数$x$に対して，$4$点$(x,0)\text{，}(x+1,0)\text{，}(x+1,1)\text{，}(x,1)$を頂点とする正方形で囲まれる領域を$A_x$とし，$A_1\cap A_x$の面積を$f(x)$とおく．ただし，$A_1\cap A_x$が空集合あるいは線分のときは，$f(x)=0$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$g(x)={\displaystyle {\int }_0^1}f(x-t)dt$とおくとき，$g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\text{，}g(2)$を求めよ．

(3)　(2)の$g(x)$について，${\displaystyle {\int }_0^3}xg(x)dx$を求めよ．