2016　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　整式$P(x)$を$Q(x)=x^3-7x^2+14x-8$で割ると，余りが$x+8$である．$P(16)=3P(2)$のとき，$P(x^2)$を$Q(x)$で割った余りを求めよ．

【２】　空間において，同一平面上にない$4$点を$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OADB}\text{，}$線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OAEC}\text{，}$線分$\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OBFC}$とする．下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$▵\mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【３】　実数$a$に対して，関数$f(x)=x^4+{\displaystyle \frac{8}{3}}a{x}^3-2x^2-8ax$が$x=X$で極大値$Y$をとるとする．$a$の値が変化するとき，点$(X,Y)$が描く軌跡を図示せよ．

【４】　自然数$n$に対して，$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k}}-x^{n+1}$とするとき，$x\geqq 0$において下の不等式が成り立つことを示せ．

(1)　$f_n(x)-f_{n-1}(x)\leqq \log {\displaystyle \frac{n}{n-1}}$（ただし$n$は$2$以上とする）

(2)　$f_n(x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}+\log n$