2016　東京農工大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,-2,-2)\text{，}\mathrm{B}(-1,-4,0)\text{，}\mathrm{C}(2,2,-4)\text{，}\mathrm{D}(2,4,-4)$をとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1+t)$に外分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

❲1❳　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ．ただし答えのみでよい．

❲2❳　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき，$t$の値を求めよ．

❲3❳　実数$r\text{，}s$について$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=r\overrightarrow{\mathrm{DC}}+s\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$が成り立つとする．このとき，$r\text{，}s\text{，}t$の値を求めよ．

❲4❳　$t$が❲3❳で求めた値のとき，直線$\mathrm{DP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点の座標を求めよ．

❲5❳　$▵\mathrm{CDP}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，$a\text{，}b\text{，}r$は実数で$b>0\text{，}r>0$とする．複素数$w=a+bi$は$w^2=-2\bar{w}$を満たすとする．${\alpha }_n=r^{n+1}{w}^{2-3n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．ただし，$i$は虚数単位とし，複素数$z$に共役な複素数を$\bar{z}$で表す．次の問いに答えよ．

❲1❳　$a$と$b$の値を求めよ．

❲2❳　複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}({\alpha }_1)\text{，}\mathrm{B}(\overline{{\alpha }_1})$について，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．$\theta$の値を求めよ．

❲3❳　${\alpha }_n$の実部を$c_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ．

❲4❳　❲3❳で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{c}_n$が収束し，その和が${\displaystyle \frac{8}{3}}$となるような$r$の値を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とし，$x$の関数$f(x)$を

$f(x)=e^{-ax}{\tan }^{2}x(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

❲1❳　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=0$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．

❲2❳　$f^{\prime }(x)=0$かつ$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

❲3❳　$a$の値が❲2❳で定めた範囲にあるとする．このとき，方程式$f^{\prime }(x)=0$の解を$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<x_1<x_2<x_3<{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$とし，

$y_1=f(x_1)\text{，}{y}_2=f(x_2)\text{，}{y}_3=f(x_3)$

とおく．

(1)　$y_1\text{，}{y}_2\text{，}{y}_3$を大きさの順に並べよ．

(2)　$\tan x_3$を$a$の式で表せ．

【４】　$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=\log x+2\text{（}x>0\text{）}$

$C_2\text{：}y=-\log x\text{（}x>0\text{）}$

を考える．正の実数$p\text{，}q$について，点$\mathrm{P}(p,\log p+2)$における$C_1$の接線を$l_1$とし，点$\mathrm{Q}(q,-\log q)$における$C_2$の接線を$l_2$とする．また，$l_1$と$l_2$は垂直であるとする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．

❲1❳　$q$を$p$を用いて表せ．ただし答えのみでよい．

❲2❳　$l_2$の方程式を$p$を用いて表せ．

❲3❳　$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\angle \mathrm{RPQ}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとき，線分$\mathrm{PQ}\text{，}$曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．