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2016 お茶の水女子大学 前期理学部選択

理(数学科)学部-数学専門Ⓐ

理(物理学科・情報学科)学部-数学Ⓑ

易□ 並□ 難□

【1】  a を正の実数とする.

(1) 平面上の点 ( x,y ) x +y=a x>0 y>0 の範囲を動くものとする.このとき,

xlog x+y logy

の最小値を求めよ.

(2) 空間上の点 ( x,y, z) x +y+z= a x>0 y>0 z>0 の範囲を動くものとする.このとき,

xlog x+ylog y+z logz

の最小値を求めよ.

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理(数学科)学部-数学専門Ⓐ

理(物理学科・情報学科)学部-数学Ⓑ

易□ 並□ 難□

【2】 以下では n 0 以上の整数とする.関係式

H0 (x )=1 Hn +1 (x) =2x Hn (x )-H n (x )

によって多項式 H 0( x) H 1( x) を定め, fn (x) =Hn (x ) e-x 22 とおく.

(1)  -f0 ( x)+ x2 f0 (x) =a0 f0 (x ) が成り立つように定数 a 0 を定めよ.

(2)  fn+ 1( x)=x fn (x )-f n (x ) を示せ.

(3)  2 回微分可能な関数 f (x ) に対して, g( x)= xf (x) -f (x ) とおく.定数 a に対して

-f (x )+x 2f (x) =af (x )

が成り立つとき,

-g (x )+x 2g (x) =(a+ 2) g( x)

を示せ.

(4)  -fn ( x)+ x2 fn (x) =an fn (x ) が成り立つように定数 a n を定めよ.

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理(数学科)学部-数学専門Ⓐ

易□ 並□ 難□

【3】  4 つの複素数 z1 z 2 z 3 z4 は互いに異なり,その絶対値はすべて 1 であるとする.

(1)  z1 z2 z 3 を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき, z1+ z2+ z3= 0 となることを示せ.

(2)  z1 +z2 +z3 =0 が成り立つとき, z1 z2 z3 を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ.

(3)  z1+ z2+ z3+ z4= 0 が成り立つとき, z1 z2 z3 z4 を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ.

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理(数学科)学部-数学専門Ⓐ

易□ 並□ 難□

【4】 サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う.

(1) サイコロを 1 回だけ振る事ができるときの得点の期待値 E 1 を求めよ.

(2) サイコロを 2 回まで振ることができるとき, 1 回目に m 以上の目が出たらそこでやめ, m より小さい目が出たら 2 回目を振ることにする.このときの得点の期待値 E 2( m) m を用いて表し, E2 (m ) が最大となる m を求めよ.

(3)  n 2 以上の自然数, m1 m n-1 6 以下の自然数とする. n 回までサイコロを振ることができるとき, i 回目に m n-i 以上の目が出たらそこでやめ, mn- i より小さい目が出たら i +1 回目を振るという規則でサイコロを降り続ける.ただし, n 回サイコロを振ったらそこでやめる.このときの得点の期待値を En (m 1, ,mn -1 ) とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  E3 (m1 ,m2 ) E2 (m 1) m2 を用いて表し, E3 ( m1, m2) が最大となる m1 m2 とそのときの E3( m1, m2 ) の値を求めよ.

(ⅱ)  n4 とする. En- 1 (m1 ,, mn-2 ) の最大値を e n-1 とすると, En (m 1,, mn- 1) が最大となるのは, En -1 (m1 ,, mn- 2) e n-1 となり,かつ m n-1 e n-1 以上の最小の自然数となるときである.このことを示せ.

 ただし,得点が k となる確率を p (k ) としたとき,

p( 1)+2 p( 2)+3 p( 3)+4 p( 4)+5 p(5 )+6 p(6 )

を得点の期待値とよぶ.

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