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【4】 サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う.
(1) サイコロを回だけ振る事ができるときの得点の期待値を求めよ.
(2) サイコロを回まで振ることができるとき,回目に以上の目が出たらそこでやめ,より小さい目が出たら回目を振ることにする.このときの得点の期待値をを用いて表し,が最大となるを求めよ.
(3) を以上の自然数,を以下の自然数とする.回までサイコロを振ることができるとき,回目に以上の目が出たらそこでやめ,より小さい目が出たら回目を振るという規則でサイコロを降り続ける.ただし,回サイコロを振ったらそこでやめる.このときの得点の期待値をとする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) をを用いて表し,が最大となるとそのときのの値を求めよ.
(ⅱ) とする.の最大値をとすると,が最大となるのは,がとなり,かつが以上の最小の自然数となるときである.このことを示せ.
ただし,得点がとなる確率をとしたとき,
を得点の期待値とよぶ.