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2016 電気通信大学 昼間・前期

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 関数

f( x)= 2sin x+6 sin2 x

について,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 導関数 f ( x) および不定積分 f (x) dx を求めよ.ただし,積分定数は省略してもよい.

(ⅱ) 区間 0 <x<π において f (x )=0 となる x の値を α とする.このとき, cos α cos 2α の値を求めよ.

(ⅲ) 区間 0 <x<π において f ( x)= 0 となる x の値を β γ β<γ とする.このとき, cosβ cos γ の値を求めよ.

(ⅳ) 区間 0 x π における f (x ) の最大値を求めよ.

(ⅴ) 曲線 y =f( x) 0x π x 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和 S を求めよ.

2016 電気通信大学 昼間・前期

配点50点

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【2】 等比数列 { an } と等差数列 { bn } を次の通りとする.

an= ( 12 ) n-3 bn = 3π (n- 1) 4 n= 1 2 3

これらを用いて,座標平面上の点 Pn

Pn ( an cosb n,a nsin bn ) n=1 2 3

で定める.このとき,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 点 P4 が線分 P1 P2 の中点であることを示せ.

(ⅱ) 線分 Pn P n+1 の長さ l n n の式で表せ.

(ⅲ) 極限値 L =limn k= 1n lk を求めよ.

(ⅳ) 座標平面上の曲線 C が媒介変数 t と定数 α β を用いて,

x=2 αt +β cost y= 2α t+β sint

と表されるとする.曲線 C t =0 で点 P1 を通り, t= 3π 4 で点 P2 を通るとき, α β の値を求めよ.

(ⅴ) (ⅳ)で定めた α β の値に対し,曲線 C がすべての点 Pn n= 1 2 3 を通ることを示せ. 

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配点50点

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【3】 座標空間に 3 A ( -1,- 1,2 ) B (1 ,1,2 ) C (1 ,-1,- 2) をとる.線分 AB の中点を M とし,原点 O を中心として 3 A B C を通る球面を S とするとき,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) ベクトル OM CM をそれぞれ成分で表せ.

(ⅱ)  AMC の大きさ θ 0 θ π の範囲で求めよ.

(ⅲ) 三角形 ABC の面積を求めよ.

(ⅳ) 原点 O から三角形 ABC に垂線 OH を下ろす.線分 OH の長さを求めよ.

(ⅴ) 点 P が球面 S 上を動くとき,四面体 ABCP の体積の最大値を求めよ.

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【4】 関数

f( x)= log xx x> 0

に対して,曲線 C y=f (x ) を考える.以下の問いに答えよ.ただし, logx e を底とする自然対数を表す.

(ⅰ) 導関数 f ( x) を求めよ.さらに, f( x) の最大値とそのときの x の値 x 0 を求めよ.

(ⅱ) 曲線 C x 軸および直線 x =e で囲まれた図形を D とする. D の面積 S を求めよ.

(ⅲ) 図形 D x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.

(ⅳ) 曲線 C 上の点 ( t,f (t )) における接線 l を考える. t>x 0 のとき,接線 l x 軸, y 軸と交わる点をそれぞれ P Q とする.原点を O として,三角形 OPQ の面積 g (t ) t の式で表せ.

(ⅴ) 極限値 limt g( t) t logt を求めよ.

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