2016　電気通信大学　後期MathJax

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\cos 3\theta +x\cos \theta |d\theta$

に対して，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos 3\theta$を$\cos \theta$の式で表せ．また，$\sin 3\theta$を$\sin \theta$の式で表せ．

(ⅱ)　$\theta$の方程式$\cos 3\theta +x\cos \theta =0$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にただ$1$つの解をもつための$x$の条件を求めよ．

　以下の問いでは，$x$は(ⅱ)で求めた条件を満たすものとし，$\alpha$を

$\cos 3\alpha +x\cos \alpha =0\text{，}0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

を満たす実数とする．

(ⅲ)　$\sin \alpha$を$x$の式で表せ．

(ⅳ)　${\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}|\cos 3\theta +x\cos \theta |d\theta$を$x$の式で表せ．

(ⅴ)　$f(x)$を$x$の式で表せ．

$C\text{：}x={\displaystyle \frac{2t^2}{1+t^2}}\text{，}y={\displaystyle \frac{2t^3}{1+t^2}}\text{（}t\geqq 0\text{）}$

に対して，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$t>0$のとき，導関数${\displaystyle \frac{dx}{dt}}\text{，}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}$を$t$の関数として表せ．

(ⅱ)　$t>0$のとき，導関数${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$の関数として表せ．

(ⅲ)　$t=1$に対応する曲線$C$上の点$(1,1)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅳ)　$t>0$のとき，第$2$次導関数${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$を$t$の関数として表し，曲線$C$の凹凸を調べよ．

(ⅴ)　曲線$C$と$y$軸および接線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{C}(\alpha )$を，点$\mathrm{A}$を点$\mathrm{B}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点とする．複素数$\alpha$を$a\text{，}b$を用いて表せ

(ⅱ)　点$\mathrm{D}(\beta )$を，線分$\mathrm{BD}$の中点が点$\mathrm{C}$となるように定める．複素数$\beta$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅲ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とする．点$\mathrm{E}(1+i)$と直線$l$の距離$d$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

　以下の問いでは，$d=1$の場合を考える．

(ⅳ)　$b$を$a$を用いて表せ．さらに，$a$の動ける範囲を求めよ．

(ⅴ)　$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，複素数$\beta$の実部$X$を最大にする$a$の値を求めよ．

$a_n\text{，}{a}_n+3\text{，}{a}_n+6\text{，}\cdots \text{，}{b}_n\text{（初項}{a}_n\text{，}\text{末項}{b}_n\text{）}\cdots \text{①}$

をつくる．この数列の項数を$N_n$として，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{N}_2$を求めよ．

(ⅱ)　$4^n$を$3$で割ったときの余りは$1$であることを示せ．

(ⅲ)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{N}_n$を$n$の式で表せ．さらに，$a_n$を$N_n$の式で表せ．

(ⅳ)　数列$\text{①}$の和

$S_n=a_n+(a_n+3)+(a_n+6)+\cdots +b_n$

を$N_n$の式で表せ．さらに，$S_n$を$n$の式で表せ．

(ⅴ)　数列$\text{①}$の逆数の和

$T_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{1}{a_n+3}}+{\displaystyle \frac{1}{a_n+6}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{b_n}}$

の極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．