2016　一橋大学　後期MathJax

【１】　$m$を整数とする．$3$次方程式$x^3+m{x}^2+(m+8)x+1=0$は有理数の解$\alpha$を持つ．

(1)　$\alpha$は整数であることを示せ．

(2)　$m$を求めよ．

【２】　すべての辺の長さが$1$で，底面が正五角形の五角錐を$K$とする．

(1)　$\cos 72\mathrm{°}+\cos 108\mathrm{°}=0$であることを用いて，$\cos 36\mathrm{°}$を求めよ．

(2)　五角錐$K$の底面積を求めよ．

(3)　五角錐$K$の体積を求めよ．

【３】　点$\mathrm{P}(a,b)$から曲線$y=x^3-x$に対し，傾きが$2$以下の接線が$3$本引ける．このような点$\mathrm{P}$の存在範囲を$S$とする．

(1)　$S$を図示せよ．

(2)　$S$の面積を求めよ．

【４】　$n$個の箱に$k$個の玉を無作為に入れる．ただし$n\geqq 3\text{，}k\geqq 3$である．

(1)　玉の入っている箱がちょうど$2$個である確率$p$を$n$と$k$で表せ．

(2)　玉の入っている箱がちょうど$3$個である確率$q$を$n$と$k$で表せ．

(3)　上で求めた$p\text{，}q$について，$p\geqq q$となる$n\text{，}k$の組をすべて求めよ．

【５】(1)　$0\leqq x\leqq y$とする．${\displaystyle \frac{x}{1+x}}$と${\displaystyle \frac{y}{1+y}}$の大小を比較せよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．${\displaystyle \frac{|a-c|}{1+|a-c|}}$と${\displaystyle \frac{|a-b|}{1+|a-b|}}+{\displaystyle \frac{|b-c|}{1+|b-c|}}$の大小を比較せよ．

【６】(1)　$x={(\sqrt{3})}^x$を満たす実数$x$は存在しないことを示せ．

(2)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={(\sqrt{3})}^{a_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$は収束しないことを示せ．