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2016 東京海洋大学 前期海洋工学部

易□ 並□ 難□

【1】 数列 { an } { bn } を以下で定める.

a1 =2 b 1=1

{ an+1 =2 an+ 3b n bn+1 =an +2 bn n=1 2 3

(1)  n=1 2 3 について,

an +3 bn= (2 +3) n

an- 3 bn= (2 -3 )n

が成り立つことを示せ.

(2)  b nan n を用いて表せ.

(3) 数列 { en }

en = 3 bn an -1 n =1 2 3

で定めるとき, n3 ならば

|e n|< 0.001

であることを示せ.ただし, 0.071< 2-3 2+ 3 <0.072 を用いてもよい.

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上に 4 A ( 0,1 ) B ( 0,2 ) P (t ,-t ) Q (0 ,-t ) (ただし, t>0 )をとる. APB= θ とおく.

(1)  tan APQ t を用いて表せ.

(2)  tanθ t を用いて表せ.

(3)  1 tanθ を考えることにより, tanθ の最大値とそのときの t の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上に放物線 C y= x2 がある.点 P ( t,t2 ) (ただし, t>0 )における C の接線を l とし, l x 軸, y 軸と交わる点をそれぞれ M N とする. M を通り l と直交する直線が, y 軸,直線 x =t と交わる点をそれぞれ Q R とする.

(1)  QPR l により二等分されることを示せ.

(2)  PQR が正三角形になるような t の値を求めよ.

(3) 四角形 PQNR の面積を S 1 とし,線分 PQ y 軸および C で囲まれる図形の面積を S 2 とする.(2)のとき, S 2S1 の値を求めよ.

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【4-Ⅰ】と 【4-Ⅱ】から選択

易□ 並□ 難□

【4-Ⅰ】 座標平面上に曲線 C1 y=x3 -x と, C1 x 軸方向に t (ただし, t>0 )だけ平行移動させた曲線 C 2 がある. C1 C 2 2 つの共有点を持つという.

(1)  t の範囲を求めよ.

(2)  C1 C 2 で囲まれる図形の面積 S t を用いて表せ.

(3)  S の最大値とそのときの t の値を求めよ.

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【4-Ⅰ】と 【4-Ⅱ】から選択

易□ 並□ 難□

【4-Ⅱ】  f( x)= x e-x 2 (ただし, x>0 )に対し,座標平面上の曲線 C y=f (x ) を考える.

(1)  f( x) の極値を求めよ.

(2) 曲線 C 2 直線 x =t x=t +1 (ただし, t>0 )および x 軸で囲まれる図形を, x 軸の周りに 1 回転して得られる立体の体積 V t を用いて表せ.

(3)  V の最大値を求めよ.

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